Эллипс (геометрич.)

Не следует путать с термином «Эллипсис».

Эллипс и его фокусы

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянна, то есть

| F₁M | + | F₂M | = 2a.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Связанные определения

• Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
• Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
• Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
• Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
• Расстояния r₁ и r₂ от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Расстояние $c=\frac{|F_1F_2|}{2}$ называется фокальным расстоянием.
• Эксцентриситетом эллипса называется отношение $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \le e < 1).$. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
• Фокальным параметром $p=\frac{b^2}{a}$ называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: $k = \frac{b}{a}$. Величина, равная $(1-k) = \frac{a-b}{a}$ называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением $~k^2=1-e^2$

Свойства

• Фокальное свойство. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F₁X) равен углу между этой касательной и прямой (F₂X).
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
• Эволютой эллипса является астроида.

Эллипс также можно описать как

• фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
• ортогональную проекцию окружности на плоскость.
• Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе "Связанные определения")

• Малая полуось: $b = \sqrt{a^2-c^2}$;
• Расстояние от фокуса до ближней вершины: $r_p = a \cdot \left(1 - e \right)$;
• Расстояние от фокуса до дальней вершины: $r_a = a \cdot \left(1 + e \right)$;
• Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
  • $p = a \cdot \left(1 - e^2 \right)$;
  • $p = b \cdot \sqrt{1 - e^2}$;
  • $p = \frac{b^2}{a}$;
  • $c = \frac{p \cdot e}{1 - e^2}$;
• Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
  • $r_p = \frac{p}{1+e}$;
  • $r_a = \frac{p}{1-e}$;

Координатное представление

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что $0 < b \le a.$ В этом случае величины a' и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

$\left|F_1F_2\right|=2\sqrt{a^2-b^2},\;\;\;e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}< 1.$

Координаты фокусов эллипса:

$\left(ae, 0\right),\;\;\;\left(-ae, 0\right).$

Эллипс имеет две директриссы, уравнения которых можно записать как

$x=\frac{a}{e},\;\;\;x=-\frac{a}{e}.$

Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

$p=\frac{b^2}{a}.$

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k:

$y=-\frac{b^2}{a^2k}x.$

Уравнение касательных, проходящих через точку $\left(x_1, y_1\right):$

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{-x_1y_1 \pm \sqrt{b^2x_1^2 + a^2y_1^2 - a^2b^2}}{a^2 - x_1^2}$

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k::

$y=kx \pm \sqrt{k^2a^2 + b^2}.$

Уравнение нормали в точке $\left(x_1, y_1\right):$

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}.$

Параметрическое уравнение

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

$\begin{cases} x = a \cos \alpha \\ y = b \sin \alpha \end{cases}\;\;\; 0 \le \alpha \le 2\pi,$

где $\alpha\,$ — параметр уравнения.

Уравнение в полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах $\left(\rho, \phi\right)$ будет иметь вид

$\rho = \frac{p}{1+e \cos \phi},$

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.

Вывод  

Пусть r₁ и r₂ расстояния до данной точки эллипса из первого и второго фокусов. Пусть, также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол φ отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,

r₁ + r₂ = 2a.

Отсюда,

$r_2^2=\left( 2a - r_1 \right)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2$.

С другой стороны, из теоремы косинусов

$r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 - 4r_1c \cos \phi$.

Исключая r₂ из последних двух уравнений, получаем

$r_1 = \frac{a^2-c^2}{a-c \cos \phi}$

Учитывая, что

p = a(1 − e²),

получаем искомое уравнение.

Другое уравнение в полярных координатах:

$\rho^2 = \frac{b^2}{1-e^2 \cos^2 \phi}.$

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

$l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{{x'(t)}^2+{y'(t)}^2} \,dt$

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

$l = a \cdot \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt$

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллипическому интегралу второго рода $E \left(t,e \right)$. В частности, периметр эллипса равен:

$l = 4a \cdot \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)$,

где $E \left(e \right)$ — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

YNOT: $L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)$ где $x=\frac{ln2}{ln(\frac{\pi}{2})}$ Максимальная погрешность этой формулы ~0.3619 % при эксцентриситете эллипса ~0.979811 (соотношение осей ~1/5). Погрешность всегда положительная.

Очень приближенная формула $L = \pi \cdot \left( a + b \right)$

Площадь эллипса

Площадь эллипса вычисляется по формуле

$~S = \pi a b$

где $~a$ и $~b$ полуоси эллипса.

Построение эллипса

Пусть даны две взаимноперпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса.

C помощью циркуля

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q₁ (или Q₂) отметим на отрезке P₁Р₂ точки F₁ и F₂. Полученные точки являются фокусами эллипса.
3. На отрезке P₁Р₂ выберем произвольную точку T. Затем с помощью циркуля начертим две окружности: первую — радуса, равным длине отрезка TP₁, с центром в точке F₁ и вторую радуса, равным длине отрезка TP₂, с центром в точке F₂. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, т.к. сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a.
4. Повторяя необходимое число раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.

C помощью циркуля и линейки

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию. Затем раствором циркуля, равным а, с центром в точке O отмечаем на ней точку S, а раствором, равным b — точку R.
3. Затем из точки S опускаем перепендикуляр на прямую P₁Р₂. Для этого произвольным раствором циркуля (но бо́льшим, чем расстояние от точки до прямой), с центром в точке S отмечаем на отрезке P₁Р₂ две точки, переносим в них циркуль и отмечаем тем же радиусом точку персечения окружностей S. Затем с помощью линейки соединяем точки S и S, это и есть искомый перпендикуляр.
4. Аналогичным способом опускаем перепендикуляр из точки R на прямую Q₁Q₂.
5. Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу.
6. Повторяя необходимое число раз шаги четырёх предыдущих пунктов, получим искомый эллипс.

Ссылки

• А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• И. Бронштейн, Эллипс, Квант, № 9, 1970.
• А. И. Маркушевич.Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04.

См. также

• Каустика