ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к-рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2-й степени

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат на нек-рый угол к одному из 9 приведенных ниже канонич. видов, каждому из к-рых соответствует определенный класс линий. Именно, нераспадающиеся линии:

эллипсы,

гиперболы,

у 2=2рх параболы,

мнимые эллипсы;

распадающиеся линии:

пары мнимых пересекающихся прямых,

пары действительных пересекающихся

прямых,

х 2-a2=0 пары действительных параллельных прямых,

x22=0 пары мнимых параллельных прямых,

x2=0 пары совпадающих действительных прямых.

Л. в. п., имеющие единственный центр симметрии (центр Л. в. п.), наз. центральной линией. Координаты центра Л. в. п. определяются решением системы:

Л. в. п. без центра симметрии или снеопределенным центром наз. нецентральной линией.

Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к канонич. виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. - выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения к-рых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат

и семиинварианта (полуинварианта):

к-рый является инвариантом относительно поворота системы координат (см. табл.).

Многие важные свойства Л. в. п. могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы

соответствующей уравнению (*). В частности, нераспадающаяся Л. в. п. оказывается эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости От того, будет ли Ф ( х, у).положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной или полуопределенной квадратичной формой, что устанавливается по корням ее характеристического уравнения:

Три основных инварианта определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).

Существует классификация Л. в. п. с точки зрения других групп преобразований. Так, относительно более общей (чем группа движений) группы аффинных преобразований эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонич. вида. Напр., две подобные Л. в. п. считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии, в к-рой бесконечно удаленные элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удаленной прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Существует 5 классов проективной эквивалентности Л. в. п. Именно, невырождающиеся линии (x1 х 2, х 3 - однородные координаты):

действительный овал, мнимый овал; вырождающиеся линии:

пара действительных прямых, пара мнимых прямых, пара совпадающих прямых. Кроме аналитич. способа определения Л. в. п. (заданием уравнения) существуют и другие способы. Напр., эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конич. поверхности плоскостью (см. Конические сечения).


Исследование вида линий второго порядка с помощью инвариантов

Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; [2J Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 11 изд., М., 1972. А. Б. Иванов.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА" в других словарях:

  • ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА — множество точек 3 мерного действительного (или комплексноро) пространства, координаты к рых в декартовой системе удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, в таких… …   Математическая энциклопедия

  • Линии второго порядка —         плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени          a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)          Уравнение (*) может и не определять действительного… …   Большая советская энциклопедия

  • Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… …   Большая советская энциклопедия

  • Линия — I Линия (от лат. linea)         геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.          1) В элементарной… …   Большая советская энциклопедия

  • линия — сущ., ж., употр. часто Морфология: (нет) чего? линии, чему? линии, (вижу) что? линию, чем? линией, о чём? о линии; мн. что? линии, (нет) чего? линий, чему? линиям, (вижу) что? линии, чем? линиями, о чём? о линиях 1. Линия это узкая полоса, черта …   Толковый словарь Дмитриева

  • Линия маннергейма — Карельский перешеек. Границы между СССР и Финляндией до и после Советско финской войны 1939 1940 гг. «Линия Маннергейма»  Линия Маннергейма (финск. Mannerheim linja) комплекс оборонительных со …   Википедия

  • Железнодорожная линия Лосево — …   Википедия

  • Дзержинская линия — У этого термина существуют и другие значения, см. Дзержинская. Дзержинская линия Новосибирский метрополитен Открытие первого участка: 31 декабря 1987 года Длина, км: 5,4 км …   Википедия

  • Маннергейма линия — Карельский перешеек. Границы между СССР и Финляндией до и после Советско финской войны 1939 1940 гг. «Линия Маннергейма»  Линия Маннергейма (финск. Mannerheim linja) комплекс оборонительных со …   Википедия

  • Парк-Плейс (линия Франклин-авеню, Би-эм-ти) — «Парк Плейс» «Park Place» …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»