Изогональная спираль

Логарифми́ческая спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».

Логарифмическая спираль (наклон 10°)

Раковина моллюска по форме близка к логарифмической спирали

Область низкого давления над Гренландией

Спиральная галактика «Водоворот»

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

$r = ae^{b\theta}\,$

либо

$\vartheta = \frac{1}{b} \ln(r/a),$

что объясняет название «логарифмическая».

В параметрической форме может быть записана как

$x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t\,,$

$y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t\,,$

где a, b — действительные числа.

Свойства

• Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.
  • В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

    $\frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \frac b{\sqrt{1+b^2}} = \cos\varphi.$

• Производная функции $\mathbf{r}'(\vartheta)$ пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда $b=0 \; (\varphi=\pi/2)$ спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности $(\varphi \rightarrow 0),$ спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий $\varphi$ до 90°, называется наклоном спирали.
• Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и шляпкам подсолнечников.

Забавные факты

Надгробие Бернулли

• Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили Архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.