Действительные числа

Веще́ственные, или действи́тельные^[1] числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается $\R$ (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Примеры

• Рациональные числа — 32, 36/29.
• Иррациональные числа — π, $\sqrt 2$.

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением $\leqslant$, которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Отношение $\leqslant$ является отношением линейного порядка:
   • Для любых $a,\;b\in\mathbb{R}$ $a\leqslant b$ или $b\leqslant a$;
   • Если $a\leqslant b$ и $b\leqslant a$, то a = b для любых $a,\;b\in\mathbb{R}$;
   • Если $a\leqslant b$ и $b\leqslant c$, то $a\leqslant c$ для любых $a,\;b,\;c\in\mathbb{R}$;
2. Порядок согласован со структурой поля:
   • Если $a\leqslant b$, то $a+c\leqslant b+c$ для любых $a,\; b,\;c\in\mathbb{R}$;
   • Если $0\leqslant a$ и $0\leqslant b$, то $0\leqslant ab$.
3. Порядок на $\mathbb{R}$ удовлетворяет условию полноты:
   • Пусть $A,\;B\subset\mathbb{R}$ — непустые подмножества, такие что $a\leqslant b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$, тогда существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что $a\leqslant c\leqslant b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$.

Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества $A\subset \Bbb{R}$ (то есть такого, что для всех x из A все $x\leqslant a$ для некоторого $a\in\mathbb{R}$) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число $c\in\mathbb{R}$ такое, что

1. Для всех x из A все $x\leqslant c$
2. Если свойству (1) удовлетворяет также число $b\in\Bbb{R}$, то $c\leqslant b$.

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля $\Bbb{R}$.

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа $\Bbb{R}$ могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел $\Bbb{Q}$ по отношению к обычной метрике $d(r,\;q)=|r-q|$.

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {r_i}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {r_i} + {q_i} = {r_i + q_i} и $\{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}$.

Две такие последовательности $\{r_i\}\,\!$ и $\{q_i\}\,\!$ считаются эквивалентными $(\{r_i\} \sim \{q_i\})$, если $|r_i-q_i|\to 0$ при $i\to \infty$.

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ на два подмножества A и B такие, что:

1. $a\leqslant b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$;
2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу $\sqrt 2$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое $A=\{x\in\mathbb Q\mid x<0$ или $x^2\leqslant2\}$ и $B=\{x\in\mathbb Q\mid x>0$ и x² > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить $\sqrt 2$ мы рассекли множество на две части: все числа, что левее $\sqrt 2$ и все числа, что правее $\sqrt 2$; соотвеетственно, $\sqrt 2$ равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида $\pm d_{-k} d_{-k+1}\ldots d_{0}, d_{1} d_{2}\ldots$, где d_i являются десятичными цифрами, то есть $0\leqslant d_i< 10$.

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид $d999\ldots$ и $(d+1)000\ldots$, где $0\leqslant d\leqslant8$, либо если это «нулевые» последовательности (все d_i равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда $\pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}$.

Счетность множества

TODO:

Примечания

1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

• Комплексные числа

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные