Производная функции

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.^[1]

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки $x_0 \in \R$ определена функция $f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.$ Производной функции называется такое число $~A$, что функцию в окрестности $U(x_0)$ можно представить в виде

$f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)$

если $~A$ существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки $x_0 \in \R$ определена функция $f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.$ Производной функции $f$ в точке $x_0$ называется предел, если он существует,

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

Общепринятые обозначения производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$

$f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).$

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная $~f'(x_0)$ функции $f$ в точке $x_0$, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $f$ является дифференцируемой в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

$f \in \mathcal{D}(x_0)\Leftrightarrow\exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty).$

Для дифференцируемой в $x_0$ функции $f$ в окрестности $U(x_0)$ справедливо представление

$~f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)$ при $x \to x_0.$

Замечания

• Назовём $\Delta x = x - x_0$ приращением аргумента функции, а $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ приращением значения функции в точке $x_0.$ Тогда

  $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

• Пусть функция $f\colon(a,b) \to \R$ имеет конечную производную в каждой точке $x_0 \in (a,b).$ Тогда определена произво́дная фу́нкция

  $f'\colon(a,b) \to \R.$

• Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $f$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).$

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция $f\colon U(x_0) \to \R$ имеет конечную производную в точке $x_0,$ то в окрестности $U(x_0)$ её можно приблизить линейной функцией

$f_l(x) \equiv f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$

Функция $f_l$ называется касательной к $f$ в точке $x_0.$ Число $~f'(x_0)$ является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть $s=s(t)$ — закон прямолинейного движения. Тогда $v(t_0)=s'(t_0)$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $t_0.$ Вторая производная $a(t_0) = s''(t_0)$ выражает мгновенное ускорение в момент времени $t_0.$

Вообще производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ выражает скорость изменения функции в точке $x_0$, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $y=f(x).$

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

$f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).$

Если функция $f$ дифференцируема в $x_0$, то производная первого порядка определяется соотношением

$f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).$

Пусть теперь производная $n$-го порядка $f^{(n)}$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема. Тогда

$f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).$

Если функция $~u = f(x, y, z)$ имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от $~x, y, z,$  может иметь в некоторой точке $~(x_0,y_0,z_0)$ частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции $~u = f(x, y, z)$ эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

$~u''_{x^2} = f''_{x^2}(x_0, y_0, z_0)$  или  $~\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x^2}$

$~u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)$  или  $~\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x \partial y}$

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

$~u''_{xy} = f''_{xy}(x_0, y_0, z_0)$

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

• Лагранжа $f^{(n)}(x_0)$, при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

$f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x_0),$

$f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x_0),$

$f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x_0),$

$f^{(4)}(x_0) = f^{IV}(x_0),$ и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

• Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если $x$ — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

$\frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0)$

• Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

$\dot{x}(t_0)$ — производная первого порядка $x$ по $t$ при $t=t_0$, или $\ddot{f}(x_0)$ — вторая производная $f$ по $x$ в точке $x_0$ и т. д.

• Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

$\mathrm{D}^n\!f(x_0)$, или иногда $\partial^n\!f(x_0)$.

• В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение $f_x$, $f_{xx}$; для значения производной в точке — $f_x\vert_{x=x_0}$. Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

$f^{(n)}(x_0)= \frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0) = \overset {\overbrace{\cdot\cdot ... \cdot}^{n\ \mathrm {PA}3}}f(x_0) = \mathrm{D}^n\!f(x_0) = f{\underbrace{_{xx \ldots x}}_{n\ \mathrm{PA}3}}\vert_{x=x_0}.$

Примеры

• Пусть $f(x) = x^2$. Тогда

$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.$

• Пусть $f(x) = |x|$. Тогда если $x_0 \neq 0,$ то

$f '(x_0) = \sgn x_0,$

где $\sgn$ обозначает функцию знака. Если $x_0 = 0,$ то $f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,$ а следовательно $f'(x_0)$ не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• $C'=0$
• $x'=1$
• $\left(f+g\right)'=f '+g'$^[2]
• $\left(fg\right)'=f'g+fg'$^[3]
• $\left(Cf\right)'=Cf'$
• $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}$ …(g ≠ 0)
• $\left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2}$ (g ≠ 0)
• Если функция задана параметрически:

$\left\{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right.$, то $y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=y'_t\cdot t'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$

Основная статья: Дифференцирование сложной функции

• $\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x$
• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

$(f g)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}},$ где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

• если функция дифференцируема на интервале $(a,b)$, то она непрерывна на интервале $(a,b)$. Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция $y(x)=|x|$ на $[-1,1]$);
• если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном $x$, то $f'(x)=0$ (это так называемая лемма Ферма);
• производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
• $(f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x)f'(x)} {f(x)}\right ) (\forall x \in D_f: f(x)>0)$

Доказательство  

$y=f(x)^{g(x)}$

$\ln y = g(x) \ln f(x)$

$\frac {y'} {y} = g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x) f'(x)} {f(x)}$

$y' = y \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x) f'(x)} {f(x)}\right )$

$y' = f(x)^{g(x)} (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x) f'(x)} {f(x)})$ ■

Таблица производных некоторых функций

Основная статья: Таблица производных

Функция $~f(x)$	Производная $~f'(x)$	Примечание
$~x^\alpha$	$~\alpha \cdot x^{\alpha-1}$	Доказательство                                    Фиксируем $x \in \mathbb{D}(f)$, придадим приращение аргументу $~\Delta x$. Вычислим приращение функции: $\Delta y=(x+\Delta x)^\alpha -x^\alpha=x^\alpha((1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1)$, т.о $(x^\alpha)'= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{x^\alpha((1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha -1)}{\Delta x}}=$См.$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\alpha\cdot x^\alpha\cdot \frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}$
$~a^x$	$~a^x\cdot\ln {a}$	Доказательство                                    Фиксируем $x \in \mathbb{D}(f)$, придадим приращение аргументу $~\Delta x$. Вычислим приращение функции: $~\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x(a^{\Delta x}-1)$, т.о $(a^x)'= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=$См.$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^x\cdot\Delta x \cdot \ln {a }}{\Delta x}=a^x\cdot\ln {a}$
$~\log_a {x}$	$~\frac{1}{x\cdot \ln {a}}$
$~\sin x$	$~\cos x$
$~\cos x$	$~-\sin x$
$~ \mathrm{tg}\ x$	$~\frac{1}{\cos^2{x}}$
$~ \mathrm{ctg}\ x$	$~-\frac{1}{\sin^2{x}}$
$~\arcsin{x}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$~\arccos{x}$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$~ \mathrm{arctg}\ x$	$~\frac{1}{1+x^2}$
$~ \mathrm{arcctg}\ x$	$~-\frac{1}{1+x^2}$
$~ \mathrm{sh}\ x$	$~ \mathrm{ch}\ x$
$~ \mathrm{ch}\ x$	$~ \mathrm{sh}\ x$
$~ \mathrm{th}\ x$	$~\frac{1}{\mathrm{ch}^2\ x}$
$~ \mathrm{cth}\ x$	$~-\frac{1}{\mathrm{sh}^2\ x}$

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $\mathbf{r}(t)$ по параметру:

$\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}$.

Если производная в точке $~t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• $\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}$ — производная суммы есть сумма производных.
• $\frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$ — здесь $~f(t)$ — дифференцируемая скалярная функция.
• $\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• $\frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t) \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right]$ — дифференцирование векторного произведения.
• $\frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right)$ — дифференцирование смешанного произведения.

См. также

• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Производная обратной функции
• Дифференцируемая функция
• Обобщения производных
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная
• Производная по направлению
• Дробная производная

Примечания

1. ↑ Горный университет. Кафедра высшей математики
2. ↑ Производная суммы равна сумме производных
3. ↑ Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу

Литература

• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1