- Лист Декартов
-
Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x3 + y3 = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.
Содержание
История
«Цветок Жасмина»Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).
В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.
Уравнения
- В прямоугольной системе по определению:
.
- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где
.
Повёрнутый декартов листЧасто рассматривают повёрнутую на
кривую. Её уравнения выглядят так:
- В прямоугольной системе:
, где
- Параметрическое:
- В полярных координатах:
Вывод уравнений повёрнутой кривой Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол и переориентацией оси OX в противоположном направлении:
Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:
, или
,
После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:
.
Вводим параметр
, последнее уравнение перепишется так:
или
.
Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:
Подставив в уравнение предыдущее
, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:
.
Решая данное выражение относительно ρ, получаем:
.
Свойства
- Прямая OA — ось симметрии, её уравнение: y = x.
- Точка A называется вершиной, её координаты
.
- Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x + y + a = 0.
Вывод уравнения асимптоты Для повёрнутого декатрового листа: При y = 0 имеем
- x = 0 или
,
Рассматриваем второй случай: l + x = 0, то есть, x = − l, то есть
, значит
.
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
- l − 3x = 0, следовательно,
.
После поворота осей на
получаем окончательное уравнение
- x + y + a = 0
- Площадь области между дугами ACO и ABO
Нахождение площади S1 Площадь S1, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: , где
.
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки:
.
Пределы интегрирования:
Интеграл преобразуется к виду:
или
Первый интеграл из этого уравнения:
.
Подстановка:
.
Пределы интегрирования:
.
Интеграл преобразуется к виду:
.
Второй интеграл:Подстановка:
.
Пределы интегрирования:
.
Интеграл преобразуется к виду:
.
Итак:
.
Площадь S1 равна
.
- Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли
.
Нахождение площади S2 Площадь S2, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь S1; интеграл берётся в пределах от 0 до .
Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае.
, то есть, площади S1 и S2 равны между собой.
- Объём тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс
Нахождение объёма вращения Объём (V1) тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс, расчитывается так: .
Итак:
.
Объём (V2) тела, образаванного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от 0 до
. Этот интеграл равен бесконечности, то есть
.
Исследование кривой
При y = 0 имеем x = 0 или
, или
, то есть
.
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
.
Производная
Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:
.
Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим:
. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге ACO — точка C и минимум на нижней дуге ABO — точка B. Значение функции в этих точках равно:
.
Значение производной y’ в точке O равно
, то есть касательные в точке O взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом
.
Wikimedia Foundation. 2010.