Квадратрисса

Квадратриса (или Квадратрисса) — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием (V век до н. э.), использовалась в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы

Кинематическое определение

Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (выделена красным цветом).

Уравнения кривой

Рис. 2. Квадратриса

• В полярных координатах:

$\rho=\frac{2R}{\pi}\frac{\varphi}{\sin \varphi}.$

Вывод

Выведем уравнение квадратрисы в полярных координатах. Пусть R — радиус круга, $\varphi$ — текущий угол FAG, ρ = AF — полярный радиус. Для удобства введём время t, которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки E по дуге длиной $\textstyle\frac{\pi}{2}$ можно выразить уравнением: $\varphi = \frac{\pi}{2}\cdot (1-t).$ Равномерное движение отрезка A'B' выражается уравнением: $A'A = \rho \sin \varphi = (1-t) R$ Исключая из уравнений 1 − t, получаем окончательно: $\rho=\frac{2R\varphi}{\pi\sin \varphi}.$

• в прямоугольных координатах можно записать уравнение квадратрисы в следующем виде:

$x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Вывод

Приводим уравнение в полярных координатах к виду: $\rho\sin\varphi=\frac{2R}{\pi}\varphi$ Учитывая $\rho\sin\varphi=y$, получаем $y=\frac{2R}{\pi}\varphi$ Из геометрических соображений: $\textstyle\varphi=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$. Тогда уравнение предстанет в виде: $\frac{\pi y}{2R}=\operatorname{arctg}\frac{y}{x}$ Берём тангенс от обеих частей: $\operatorname{tg}\frac{\pi y}{2R}=\frac{y}{x}$ то есть $x=y\,\operatorname{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть EAB (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку F на квадратрисе и её ординату A'.
2. Откладываем на отрезке AA' его третью часть; получим некоторую точку H.
3. Находим на квадратрисе точку K с ординатой H.
4. Проводим луч AK. Угол KAB — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из равномерности обоих движений, образующих квадратрису.

Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.

Квадратура круга

Рис. 3. Квадратура круга

Здесь задача ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса R. Алгебраически это означает решение уравнения: x² = πR².

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Можно показать, что абсцисса AG её нижней точки равна $\frac {2R} {\pi}$. Выразим это в виде пропорции: C:2R = 2R:AG, где C = 2πR — длина окружности. Приведенное соотношение позволяет построить отрезок длины C. Прямоугольник со сторонами R и C / 2 будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное.

См. также

• Динострат
• Квадратура круга
• Трисекция угла

Литература

• Жуков А. В.. «О числе π». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб., 1994. Вып. 35. С. 220—229.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Quadratrix of Hippias at the MacTutor archive.
• Quadratrix of Hippias at Convergence.