- Открытые математические проблемы
-
Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.
В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:
Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большинство из проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.
Теория чисел
- Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?
- Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов?
- Гипотеза Биля. Верно ли, что если
где
— натуральные и
, то
имеют общий простой делитель?
- Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
- Гипотеза Эрдёша (англ.). Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии?
- Числа ван дер Вардена (англ.). При каком наименьшем N при любом разбиении множества
на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?[1]
Геометрия
- В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
- На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?[2][3]
- Существует ли такая константа
, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь
, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?[4]
- Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?[5]
- Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?[6][7]
- Найдется ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?[7][8]
- Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
- У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?[9]
- Даны положительные действительные числа
. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?
- Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[10]
- При каком минимальном
любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма
[11]
- Чему равно хроматическое число
-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости (Проблема Хэдвигера — Нельсона (англ.)); другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет.
- Задача Томсона. Как разместить
одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для
, 3, 4, 6 и 12).[12] Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из
точек?
- Как разместить
точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?[13]
- Для каждой пары натуральных чисел (n, k) найти такое наименьшее действительное число d(n, k), что любое множество единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k подмножеств диаметром не больше d(n, k). Задача решена только в нескольких частных случаях.[14][15]
- Чему равна площадь множества Мандельброта? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08.[16]
- Happy Ending problem. При каком минимальном
среди любых
точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого
-угольника? Решение известно только для
. Результат для
(который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
- Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Ванга (англ.), которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 13.
- В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[17]
- Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году.[18][19][20]
- Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?
- Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?[21][22][23]
Задачи упаковки
- Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса
?[24]
- Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?[25]
- Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[25]
Многомерные пространства
- Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью
? Эта задача решена лишь для
(240) и
(196 560).[26][27]
- Задача плотнейшей упаковки шаров в
-мерном евклидовом пространстве для
. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки.[28]
- Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7-мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6-мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ отрицателен, а больше 7 — положителен)[29]
Механика
- Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[5]
- Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
- Однородное твёрдое тело плавает в воде (выталкивающая сила направлена нормально к поверхности и прямо пропорциональна глубине) и находится в равновесии при любой ориентации. Можно ли утверждать, что оно является шаром?
Алгебра
- Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы
существуют поля
и
, такие, что
является расширением
и
изоморфна
.
- Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно.[30]
- Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?[31]
- Является ли кольцо периодов полем?
Коуровская тетрадь
Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешенных задач в области теории групп. Издается с 1965 года с периодичностью в 2-4 года. Выпускается на русском и английском языках.[32][33]
Днестровская тетрадь
Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей.[34]
Анализ
- Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой
?
- Чему равна постоянная Миллса (англ.)? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
- До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как
и
; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа
бесконечное количество раз.
- Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?
- Является ли
нормальным числом?[35]
- Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (англ.), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа
, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
- Сходятся ли ряды
и
[36]
Вопросы иррациональности
- Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа
Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом[37][38][39][40][41][42][43].
- Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел:
[44].
- Неизвестно, являются ли
и
алгебраически независимыми.
- Неизвестно, является ли
целым числом при каком-либо положительном целом
(см. тетрация). Неизвестно даже, является ли
целым.
- Неизвестно, является ли первое число Скьюза
целым числом.
- Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана
для всех натуральных
?
- Трансцендентны ли значения гамма-функции
для всех целых
?
- Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума?
- Трансцендентна ли постоянная Пелля?[45]
- Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами — трансцендентна?
Комбинаторика
- Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
- Существование конечной проективной плоскости любого натурального порядка.
- Неизвестно количество незамкнутых маршрутов коня.
Теория графов
- Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее m ребер, имеет замкнутый контур длиной не более
.[46]
- Гипотеза Хадвигера — каждый n-хроматический граф стягиваем к полному графу
.
- Гипотеза Улама:
- а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
- б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
- Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра.
- Любой кубический граф имеет простой цикл длины
.
- В любом графе можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.
- В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.
Теория узлов
- Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла?
- Чему равно количество простых узлов (англ.) с n двойными точками (англ.) для n>16? Является ли эта последовательность строго возрастающей?[47] Значения для n<17 даёт последовательность A002863 в OEIS.
Теория алгоритмов
Вопросы алгоритмической разрешимости
- Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
- Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах.[48][49]
- Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц
определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу.[50]
- Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
Теория вычислительной сложности
- P = NP?
- Является ли задача изоморфизма графов NP-полной?[51]
- Принадлежит ли задача нахождения простого множителя натурального числа к классу P?
- Принадлежит ли задача распознавания тривиального узла (англ.) к классу P?
- Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения целых чисел. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Мартина Фюрера, выполняющийся за
, где
— итерированный логарифм (англ.).
- Определить точную нижнюю границу сложности алгоритма умножения матриц. Из известных алгоритмов наименьшую сложность имеет алгоритм Копперсмита — Винограда, работающий за
(однако с непрактично большим коэффициентом).
Другие проблемы теории алгоритмов
- Проблема «усердного бобра» (англ.)[52]. Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с
состояниями и алфавитом
на заполненной нулями ленте? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех
, и пока известны только значения для
.[53]
Аксиоматическая теория множеств
- В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
- Проблема Скулема. Рассмотрим множество
функций одного натурального переменного
, построенных из термов
и замкнутых относительно сложения, умножения и возведения в степень. Для функций
из этого множества будем писать
, если
выполняется для всех достаточно больших
. Известно, что отношение
вполне упорядочивает множество
. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем
и не больше чем первый критический ординал
)[54][55] Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году).[56][57]
- Существует ли линейно упорядоченное множество с порядковым типом (англ.) α, удовлетворяющим условиям α ≠ α2 и α = α3?[58]
Теория доказательств
- Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано?[59] Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.
Вычислительная математика
- Определить предельный уровень аппроксимации
-стадийного метода Рунге — Кутта (одностадийный = метод Эйлера =
, двухстадийный = модифицированный метод Эйлера =
, четырёхстадийный = классический метод Рунге — Кутта =
, пятистадийный = метод Фельберга = тоже
).
Дифференциальные уравнения
Известные проблемы, недавно решённые
- Проблема четырёх красок
- Великая теорема Ферма
- Гипотеза Пуанкаре
- Гипотеза о раскраске дорог (англ.)[61]
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Unsolved Problem 26: Given a simple closed curve in the plane, can we always find four points on this curve that are the vertices of a square? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
- ↑ Weisstein, Eric W. Square Inscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Unsolved Problem 33: Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must contain the vertices of a triangle with area 1? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
- ↑ 1 2 Улам С. Глава III // Нерешённые математические задачи. — Наука, 1964.
- ↑ Unsolved Problem 22: Is there a triangle with integer sides, medians, and area? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Unsolved Problem 13: Is there a point in the plane that is at a rational distance from each of the four corners of a unit square? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
- ↑ Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Удивительные объёмы многогранников
- ↑ Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Задача Томсона
- ↑ Unsolved Problem 23: How should you locate 13 cities on a spherical planet so that the minimum distance between any two of them is as large as possible?Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
- ↑ Decomposing the 2-Sphere into Domains of Smallest Possible Diameter
- ↑ Noga Alon (англ.), Discrete mathematics: methods and challenges
- ↑ Pixel Counting, Mu-Ency at MROB
- ↑ Weisstein, Eric W. Illumination Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Integer distances
- ↑ Tobias Kreisel, Sascha Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle
- ↑ Erich Friedman, Unsolved Problems in Planar Geometry
- ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1934. — S. 127—139. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (нем.)
- ↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — Zurich: European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6. — № 1. — P. 390—393.
- ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence: American Mathematical Society, 2011. — Vol. 139. — № 5. — P. 1831—1839. — ISSN 0002-9939. — DOI:10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 arΧiv:0906.3217
- ↑ Packing Equal Circles on a Sphere
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Контактное число
- ↑ Weisstein, Eric W. Контактное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Кеплера (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Keller's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners на arXiv
- ↑ Sharipov, R.A. (2009), "Transfinite normal and composition series of groups", arΧiv:0908.2257 [math.GR]
- ↑ Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) / Ред. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, В. Н. Ремесленников. — 4 изд. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения АН СССР, 1973.
- ↑ Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 17 изд. доп. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2010. — 219 с.
- ↑ Днестровская тетрадь. Нерешённые проблемы теории колец и модулей / Сост. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков. — 4-е изд. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1993. — 73 с.
- ↑ Weisstein, Eric W. Натуральный логарифм 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Flint Hills Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Иррациональное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Pi (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. e (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ en:Irrational number#Open questions
- ↑ Some unsolved problems in number theory
- ↑ Weisstein, Eric W. Трансцендентное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ An introduction to irrationality and transcendence methods
- ↑ Weisstein, Eric W. Measure.html Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Постоянная Пелля (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Caccetta-H�ggkvist Conjecture (1978)
- ↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
- ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
- ↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
- ↑ When is a pair of matrices mortal?
- ↑ Weisstein, Eric W. Изоморфизм графов (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ И. В. Абрамов. Теория автоматов, языков и вычислений. — М., 2003.
- ↑ последовательность A028444 в OEIS
- ↑ Transfinite Ordinals and Their Notations
- ↑ http://www.ams.org/journals/tran/1984-286-01/S0002-9947-1984-0756043-7/S0002-9947-1984-0756043-7.pdf
- ↑ Skolem + Tetration Is Well-Ordered
- ↑ The Ordinal of Skolem + Tetration Is τ0
- ↑ Вацлав Серпинский Cardinal And Ordinal Numbers. — Варшава: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
- ↑ WolframScience Conference NKS2006
- ↑ М. Табор Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. пер. с англ., М.: «Эдиториал УРСС», 2001, 320 с., тир. 1000 экз., ISBN 5-8360-0192-8, гл. 1 «Динамика дифференциальных уравнений», 1.4 «Линейный анализ устойчивости», 1.4г «Предельные циклы», с. 29
- ↑ Решена задача о раскраске дорог
Ссылки
- Open Problem Garden (англ.)
- Open Questions: Mathematics (англ.)
- The Open Problems Project (англ.)
- Открытые математические проблемы в Google Directory (англ.)
- Видеоклипы о нерешённых математических проблемах
- http://unsolvedproblems.org/
Нерешённые проблемы по дисциплинам Биология · Химия · Информатика · Экономика · Лингвистика · Математика · Нейробиология · Философия · Физика · Статистика Категории:- Математические гипотезы
- Списки:Математика
- Текущие списки
- Нерешённые проблемы
Wikimedia Foundation. 2010.