- Бесконечное множество
-
Бесконечное множество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:
- Множество, в котором для любого натурального числа найдётся конечное подмножество из элементов.
- Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
- Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
- Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.
Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами (англ.) и обозначаются где индекс пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют
Примеры
- Множества натуральных чисел целых чисел рациональных чисел действительных чисел комплексных чисел — являются бесконечными множествами.
- Множество функций является бесконечным.
- Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке
- Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.
См. также
- Бесконечность
- Кардинальное число
- Аксиоматика теории множеств
- Теорема Кантора — Бернштейна
- Континуум
- Континуум-гипотеза
Категории:- Теория множеств
- Математические термины
Wikimedia Foundation. 2010.