Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана
Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности.

Дзета-функция Римана или дзета-функция Эйлера-Римана[источник?] \displaystyle \zeta(s) определяется с помощью ряда Дирихле:

\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,

где \displaystyle s \in \mathbb{C}.

В области  \left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\}, этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Содержание

Тождество Эйлера

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

где произведение берётся по всем простым числам \displaystyle p.

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}, где \displaystyle B_{2m} — число Бернулли.
    • В частности, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.
  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.[1]
  • При \operatorname{Re}\,s> 1
  • \displaystyle \zeta(s) имеет в точке \displaystyle s=1 простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при \displaystyle s\ne 0, s\ne 1 удовлетворяет уравнению:
    \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
где \displaystyle \Gamma(z) — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
    \xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),
введенной Риманом для исследования \displaystyle \zeta(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s).

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости \operatorname{Re}\,s < 0, функция \zeta(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, \zeta(s) \neq 0 при вещественных s \in (0,1). Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали \operatorname{Re}\,s = \frac 1 2 и лежат в полосе 0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой \operatorname{Re}\,s = \frac 1 2.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
  • Дзета-функция Лерха:
    \Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
  • Квантовый аналог (q-аналог).

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки

Примечания

  1. В. В. Зудилин Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56. — № 2(338). — С. 215–216.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Дзета-функция Римана" в других словарях:

  • Римана дзета-функция — Дзета функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно… …   Википедия

  • Дзета-функция — Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде… …   Википедия

  • ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — z ф у нкция, 1) Д. ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д. ф. и их обобщения в виде L функций (см. Дирихле L функции )лежат в основе современной аналитич.… …   Математическая энциклопедия

  • Дзета-функция Гурвица — В математике Дзета функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица,  это одна из многочисленных дзета функций, являющихся обобщениями дзета функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s,… …   Википедия

  • Дзета-функция —         1) аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, определяемая при σ > 1 формулой                  Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий… …   Большая советская энциклопедия

  • Римана дзета-функция — (математическая)         см. Дзета функция …   Большая советская энциклопедия

  • РИМАНА ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — см.Дзета функция …   Математическая энциклопедия

  • Ζ-функция Римана — Дзета функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно… …   Википедия

  • Нули дзета-функции Римана — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Берча и Свиннертона Дайера Гипотеза Римана о… …   Википедия

  • Дзета-функции — Эта страница информационный список. См. также основную статью: Дзета функция Римана В математике дзета функция обычно это функция родственная или аналогичная дзета функции Римана …   Википедия

Книги

  • Дзета-функция Римана, Э. Ч. Титчмарш. В настоящей книге известного английского математика Э. Ч. Титчмарша систематически излагаются основные свойства дзета-функции, играющей исключительно большую рольв теории чисел. Ряд проблем о… Подробнее  Купить за 461 руб
  • Дзета-функция Римана, Э. Ч. Титчмарш. В настоящей книге известного английского математика Э. Ч. Титчмарша систематически излагаются основные свойства дзета-функции, играющей исключительно большую рольв теории чисел. Ряд проблем о… Подробнее  Купить за 417 грн (только Украина)
  • Дзета-функция Римана, Титчмарш Э.Ч.. В настоящей книге известного английского математика Э. Ч. Титчмарша (1899-1963) систематически излагаются основные свойства дзета-функции, играющей исключительно большую роль в теории чисел.… Подробнее  Купить за 322 руб
Другие книги по запросу «Дзета-функция Римана» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»