Выпуклое множество

Выпуклое множество
Выпуклое множество.
Невыпуклое множество.

Множество в аффинном пространстве называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.

Содержание

Определения

Пусть A — аффинное пространство (над полем вещественных чисел \mathbb{R}).

Множество K\subset A называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками x,\;y\in K множеству K принадлежат все точки отрезка xy, соединяющего в пространстве A точки x и y. Этот отрезок можно представить как

\bigcup\limits_{t\in[0;\;1]}\{x+t\cdot\overrightarrow{xy}\}.

Связанные определения

Множество K векторного пространства V называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры

Свойства

  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть K — выпуклое множество. Тогда для любых элементов u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r принадлежащих K и для всех неотрицательных \lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r , таких что \lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1, вектор
    w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k
принадлежит K.
  • Вектор w называется выпуклой комбинацией элементов u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r.
  • Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество A линейного пространства содержится внутри малого выпуклого множества (называемого выпуклой оболочкой множества A), то есть пересечение всех выпуклых множеств содержит A.
  • Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества C и точки P, не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство H, содержащее C и не содержащее P. Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
  • Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств \R^d, пересечение любых d+1 из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
  • Любое выпуклое множество единичной площади в \R^2 можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2.[1]

Вариации и обобщения

См. также

Литература

Ссылки

  1. Weisstein, Eric W. Triangle Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Выпуклое множество" в других словарях:

  • ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО — в евклидовом или другом векторном пространстве множество, к рое вместе с любыми двумя точками содержит все точки соединяющего их отрезка. Пересечение любой совокупности В. м. есть В. м. Наименьшая размерность плоскости, содержащей данное В. м.,… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫПУКЛОЕ ТЕЛО — замкнутое (конечное плп бесконечное) выпуклое множество в евклидовом или другом топологическом векторном пространстве, имеющее внутренние точки …   Математическая энциклопедия

  • Выпуклое тело —         геометрическое тело, обладающее тем свойством, что соединяющий две его любые точки отрезок содержится в нём целиком. На рис. тело а выпукло, а тело б не выпукло. Шар, куб, шаровой сегмент, полупространство примеры В. т. Любая связная… …   Большая советская энциклопедия

  • Выпуклое отношение предпочтения — Выпуклость отношения предпочтения  это свойство, описывающее склонность потребителя к сбалансированному потреблению имеющихся товаров. Например, если потребитель утверждает, что набор составлен из двух одинаковых пачек кофе и набор составлен …   Википедия

  • ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛОЕ ПРОСТРАНСТВО — отделимое топологическое векторное пространство над полем действительных или комплексных чисел, в к ром любая окрестность нулевого элемента содержит выпуклую окрестность нулевого элемента; иначе говоря, топологическое векторное пространство… …   Математическая энциклопедия

  • Связное множество — (математическое)         точечное множество, состоящее как бы из одного куска, т. е. такое, что при любом его разбиении на два непресекающихся непустых подмножества одно из них содержит точку, предельную для другого (см. Предельная точка). На… …   Большая советская энциклопедия

  • Случайное множество — измеримое отображение семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства в некоторое пространство , элементами которого являются множества. Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от… …   Википедия

  • Уравновешенное множество — Множество , принадлежащее векторному пространству , называется уравновешенным, если для любого скаляра , такого что , выполняется соотношение то есть для любого элемента элемент …   Википедия

  • УРАВНОВЕШЕННОЕ МНОЖЕСТВО — множество Uдействительного или комплексного векторного пространства . такое, что из и следует Примером У. м. может служить единичный шар нормированного векторного пространства и вообще окрестность нуля Uбазы окрестностей нуля топологич.… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНОЕ МНОЖЕСТВО — в топологическом векторном пространстве Xнад полем К множество Атакое, что совокупность линейных комбинаций элементов из А(всюду) плотна в X, т. е. порожденное множеством Азамкнутое подпространство, или замкнутая линейная оболочка А, совпадает с… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»