Ординал

Ординал

Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Содержание

Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

  • Назовём множество транзитивным, если каждый элемент x является подмножеством x: \mathrm{Trans}(x) \Leftrightarrow \forall t (t \in x \rightarrow t \subseteq x).
  • Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: \mathrm{Ord}(x) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(x) \wedge \forall t (t \in x \rightarrow  \mathrm{Trans}(t)).

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

Свойства

  • Если α — порядковое число, то каждый элемент α — порядковое число.
  • \varnothing — порядковое число.
  • Если α — порядковое число, то \alpha \cup \{ \alpha \} — порядковое число (терм \alpha \cup \{ \alpha \} обозначают при этом как α + 1). Ординалы, совпадающие с α + 1 для некоторого α, называются непредельными ординалами, в отличие от предельных.
  • Множество натуральных чисел ω — порядковое число, множества ω + 1, ω + 2, ω + ω, … — порядковые числа.
  • Всякое множество x порядковых чисел вполне упорядочено по отношению \in, при этом \bigcap x — наименьший элемент любого множества порядковых чисел, \bigcup x — порядковое число, большее или равное любому из чисел во множестве x.
  • Не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.

Арифметика ординалов

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Ординал" в других словарях:

  • ординалістський — а, е: •• Ординалі/стська кори/сність величина корисності, виміряна за порядковою шкалою, у вигляді порядкового номера значущості корисності даного блага, товару …   Український тлумачний словник

  • Ординал —  ♦ (ENG ordinal)  (от лат. ordo порядок)    книга, содержащая обряды рукоположения диаконов, священников и епископов. Также книга с приуроченными службами, требующими руководящей роли епископа …   Вестминстерский словарь теологических терминов

  • Предельный ординал — Ординал называется предельным, если не существует ординала такого, что . Пусть   предельный ординал. Конфинальностью называется число , равное наименьшему , д …   Википедия

  • ordinal —  Ординал …   Вестминстерский словарь теологических терминов

  • Регулярный кардинал — Ординал α называется предельным, если не существует ординала β такого, что α = β + 1. Пусть α  предельный ординал. Конфинальностью α называется число , равное наименьшему β, для которого существует функция f из β в α и . Кардинал называется… …   Википедия

  • ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — ординал, то же, что порядковое число …   Математическая энциклопедия

  • ВЫНУЖДЕНИЯ МЕТОД — форсинг метод, особый способ доказательства существования моделей аксиоматич. теорий, предложенный П. Козном в 1963 для доказательства совместимости отрицания континуум гипотезы щСН и других теоретико множественных предложений с аксиомами системы …   Математическая энциклопедия

  • Порядковое число — Порядковое число, ординал (лат. ordinalis порядковый) или трансфинитное число (лат. trans за, через + finitio край, предел) в теории множеств  некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые… …   Википедия

  • Церковь Англии — Логотип Церкви Англии с 1996 года Конфессия Англиканство …   Википедия

  • Открытые математические проблемы — Открытые (нерешённые) математические проблемы  проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»