Проблема Гольдбаха

Проблема Гольдбаха

В математике проблемой Гольдбаха или гипотезой Гольдбаха называется следующее утверждение:

Любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Примеры:

7=2+2+3
9=2+2+5=3+3+3
11=2+2+7=3+3+5
13=3+3+7=3+5+5
15=2+2+11=3+5+7=5+5+5
17=2+2+13=3+3+11=3+7+7=5+5+7
19=3+3+13=3+5+11=5+7+7
21=2+2+17=3+5+13=3+7+11=5+5+11=7+7+7
23=2+2+19=3+3+17=3+7+13=5+5+13=5+7+11

Вариантом проблемы Гольдбаха (её ещё называют тернарной проблемой Гольдбаха) является проблема Эйлера (или бинарная проблема Гольдбаха), которая до сих пор является одной из старейших нерешённых проблем:

Любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Примеры:

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
18=5+13=7+11
20=3+17=7+13

Проблема Гольдбаха (в совокупности с гипотезой Римана) включена под номером 8 в список проблем Гильберта (1900) и является одной из немногих проблем Гильберта, до сих пор остающихся нерешёнными.

Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7. Математики в таких случаях говорят, что утверждение в бинарной проблеме сильнее, чем в тернарной.

Содержание

История исследования

В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Тернарная проблема Гольдбаха

Это, более слабое, утверждение было доказано для всех достаточно больших чисел И. М. Виноградовым в 1937 году, за что он получил Сталинскую премию и звание Героя Социалистического Труда.

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел. В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бороздин доказал[1], что нижняя граница не превышает 3315 ≈ 3,25×106 846 168 ≈ 106 846 168. То есть, это число содержит почти 7 миллионов цифр, что, в настоящее время, делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили[2] нижнюю грань до ee11,503 ≈ 3,33339×1043 000 ≈ 1043 000,5, что, тем не менее, по-прежнему находится вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел при современном развитии вычислительной техники.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали[3], что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих 1020, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

Бинарная проблема Гольдбаха

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воном (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает CN^{1-c}.

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел.[4] Этот результат многократно улучшался. В 1995 году Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На июль 2008 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена[5] для всех чётных чисел, не превышающих 1,2×1018.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание бинарной гипотезы Гольдбаха недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза верна.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида[6][7].

См. также

Дополнительные факты

  • В триллере «Западня Ферма» (исп. La habitación de Fermat) (Испания, 2007) одному из главных героев удается решить бинарную проблему Гольдбаха.
  • Процессу доказательства проблемы Гольдбаха посвящена книга Дидье Нордона (фр. Didier Nordon) «Les obstinations d’un mathématicien» (Франция, 2003).

Примечания

  1. Int[Log[10,3^(3^15)]] — Wolfram|Alpha
  2. J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702-718. Addendum 34 (1991) 143-144.
  3. Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele, Dmitrii Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.
  4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001.
  5. Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done.
  7. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.

Литература

  • Доксиадис А.. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. Пер. с англ. М. Левина. — М.: АСТ, 2002.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Проблема Гольдбаха" в других словарях:

  • Слабая проблема Гольдбаха — …   Википедия

  • ГОЛЬДБАХА - ВАРИНГА ПРОБЛЕМА — задача о поведении числа решений уравнения где простые числа, (см. Варинга проблема, Гольдбаха проблема). В этой проблеме получены (к 1977) примерно те же результаты, что и в проблеме Варинга: разрешимость этого уравнения (т. е. неравенство )… …   Математическая энциклопедия

  • Проблема Ландау — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… …   Википедия

  • ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА — проблема теории чисел, заключающаяся в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное 6, может быть представлено в виде суммы 3 простых чисел. Выдвинута Х. Гольдбахом в 1742. Лишь в 1937 И. М. Виноградов решил Гольдбаха проблему… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА — проблема теории чисел, заключающаяся в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное 6, может быть представлено в виде суммы 3 простых чисел. Выдвинута X. Гольдбахом в 1742. Лишь в 1937 И. М. Виноградов решил Г. п. для… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Проблема Варинга — В 1770 г. Варинг выдвинул гипотезу[1], что при каждом целом существует такое число , что всякое натуральное число может быть представлено в виде с целыми неотрицательными . Эта гипотеза получила название проблема Варинга. Сегодня так на …   Википедия

  • Гольдбаха проблема — проблема теории чисел, заключающаяся в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное 6, может быть представлено в виде суммы 3 простых чисел. Выдвинута X. Гольдбахом в 1742. Лишь в 1937 И. М. Виноградов решил Гольдбаха проблему… …   Энциклопедический словарь

  • Гольдбаха проблема —         одна из известных проблем теории чисел; заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Эту проблему выдвинул в 1742 Х. Гольдбах в письме к Л.… …   Большая советская энциклопедия

  • Проблема разрешения — В математике проблемой разрешения (Entscheidungsproblem) называется задача, сформулированная Давидом Гильбертом в 1928 году: найти алгоритм, который бы принимал в качестве входных данных описание любой проблемы разрешимости (формального языка и… …   Википедия

  • ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА — одна из известных проблем теории чисел; заключается в доказательстве того, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Эту проблему выдвинул в 1742 X. Гольдбах (Ch. Goldbach) в письме …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Проблема Гольдбаха» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»