Гипероператор

В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый a⁽ⁿ⁾b) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a:

$\begin{align} & a {^{(1)}} b = a + b \\ & a {^{(2)}} b = a \times b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b} \\ & a {^{(3)}} b = a^b = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{b} \\ & \dots \\ & a {^{(n)}} b = \underbrace{a^{(n-1)} a^{(n-1)} \dots a^{(n-1)} a}_{b} \end{align}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка n>3 не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка имеют названия тетра́ция, пента́ция и гекса́ция, соответственно.

В простейшем случае значения переменных a, b и n ограничиваются целыми неотрицательными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Гипероператоры могут быть выражены в форме верхней стрелки Кнута или последовательности стрелок Конвея. $a {^{(n)}} b = \textrm{hyper}(a,n,b) = a \uparrow^{n-2} b = a \to b \to (n-2)$

Происхождение

Отвечая на вопрос: «Что будет при продолжении стандартной последовательности математических действий?» сложение (+), умножение (×), возведение в степень (^) и учитывая:

• $a + b = 1 + (a + (b - 1))\!$
• $a \times b = a + (a \times (b - 1))$
• $a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})$

рекурсивно определим общую операцию в инфиксной форме:

$a ^ {(n)} b= \left\{ \begin{matrix} b+1, & \mbox{if }n=0 \\ a, & \mbox{if }n=1,b=0 \\ 0, & \mbox{if }n=2,b=0 \\ 1, & \mbox{if }n\ge 3,b=0 \\ a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{if }n\ge 1,b\ge 1,a\ge 0 \end{matrix} \right.$

тогда гипероператор определяется как $\operatorname{hyper\mathit{n}} (a, b) = a ^ {(n)} b$ и $\operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b$

Распишем для первых натуральных четырех n:

$\operatorname{hyper1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 1, b) = a ^ {(1)} b = a+b$

$\operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b = ab$

$\operatorname{hyper3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 3, b) = a ^ {(3)} b = a^b$

${\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop {b\mbox{ copies of }a}}$

Вычисление слева направо

Альтернативная операция может быть получена путем вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения для эта операция совпадает с Гипероператором при n<4:

• $a+b = (a+(b-1))+1\!$
• $a\times b = (a\times (b-1))+a$
• $a^b = (a^{(b-1)})\times a$

Отрицательное число операций

При N<0 имеем:

$\operatorname{hyper-1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -1, b) = a ^ {(-1)} b = a-b$

$\operatorname{hyper-2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -2, b) = a ^ {(-2)} b = a/b$

$\operatorname{hyper-3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -3, b) = a ^ {(-3)} b = \mathrm{log}_b(a)$

При N=-4 получаем суперлогарифм.

Рациональное число операций

При n=1/3 получаем арифметический корень, а при n=1/4 получаем суперкорень.

См. также

• Возведение в степень
• Функция Аккермана

Ссылки

• Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
• Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1

Эта статья нуждается в дополнительных источниках для улучшения проверяемости. Вы можете помочь улучшить эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Не подтверждённая источниками информация может быть поставлена под сомнение и удалена.