Алгоритмически неразрешимая задача

В теории вычислимости алгоритмически неразрешимой задачей называется задача, имеющая ответ да или нет для каждого объекта из некоторого множества входных данных, для которой (принципиально) не существует алгоритма, который бы, получив любой возможный в качестве входных данных объект, останавливался и давал правильный ответ после конечного числа шагов.

Проблемы, касающиеся абстрактных машин

• Проблема остановки
• Проблема самоприменимости
• Busy beaver (англ.)
• Любая проблема, сформулированная в теореме Райса
• Определить, достигнет ли когда-нибудь заданная исходная конфигурация в игре «Жизнь» заданной конечной конфигурации^[1]

Проблемы, касающиеся матриц

• Проблема умирающей матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу. Проблема неразрешима даже для n=3 (разрешимость для n=2 является открытым вопросом^[2])

• Проблема единичной матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее единичную матрицу. Проблема неразрешима для целочисленных матриц начиная с n=4 ^[3] и разрешима для n=2 ^[4] (разрешимость для n=3 является открытым вопросом). Проблема эквивалентна вопросу, является ли матричная полугруппа группой.

• Проблема свободности матричной полугруппы алгоритмически неразрешима для целочисленных матриц начиная с n=3 и открыта для n=2.

Другие проблемы

• Проблема разрешения (Entscheidungsproblem‎)
• Выводимость формулы в арифметике Пеано
• Проблема соответствий Поста (англ.)
• Вычисление колмогоровской сложности произвольной строки
• Идеальный архиватор, создающий для любого входного файла программу наименьшего возможного размера, печатающую этот файл^[5]
• Идеальный оптимизирующий по размеру компилятор^[6]
• Десятая проблема Гильберта
• Определить, можно ли замостить плоскость данным набором плиток Ванга (англ.)
• Определить, можно ли замостить плоскость данным набором полимино
• Проблема унификации (англ.) второго и высшего порядков
• Проблема вывода типов в модели Хиндли — Милнера с rank-N полиморфизмом

Проблемы, алгоритмическая неразрешимость которых не доказана

Для некоторых задач неизвестен алгоритм, решающий их, и по своей природе они похожи на известные алгоритмически неразрешимые задачи. Вопросы об алгоритмической разрешимости таких задач являются открытыми проблемами. Вот некоторые из таких задач:

• Аналог десятой проблемы Гильберта для уравнений степени 3
• Аналог десятой проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах
• Проблема умирающей матрицы для матриц порядка 2

См. также

• Алгоритмическая разрешимость формальной теории
• Теорема Гёделя о неполноте

Ссылки

1. ↑ Life Universal Computer
2. ↑ When is a pair of matrices mortal?
3. ↑ Paul C. Bell; Igor Potapov (2010). «On the Undecidability of the Identity Correspondence Problem and its Applications for Word and Matrix Semigroups». International Journal of Foundations of Computer Science (World Scientific) 21.6: 963-978. DOI:10.1142/S0129054110007660.
4. ↑ Christian Choffrut; Juhani Karhumäki (2005). «Some decision problems on integer matrices.». ITA 39(1): 125-131. DOI:10.1051/ita:2005007.
5. ↑ Наличие такого архиватора позволило бы вычислить колмогоровскую сложность произвольной строки, что является алгоритмически неразрешимой задачей.
6. ↑ В частности, он заменял бы любой не останавливающийся алгоритм на тривиальный пустой цикл, а распознавание таких алгоритмов эквивалентно проблеме останова и является алгоритмически неразрешимой задачей.