Математическое доказательство

Математическое доказательство

В математике доказа́тельством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

Содержание

Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, то есть такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. В истории математики были случаи, когда выдающиеся учёные публиковали неверные «доказательства», однако обычно их коллеги или они сами довольно быстро находили ошибки (одна из наиболее часто неправильно доказывавшихся теорем — Великая теорема Ферма. До сих пор встречаются люди, не знающие о том, что она доказана, и предлагающие новые неверные «доказательства»[1][2]). Ошибочным может быть только признание доказательством «доказательства» на естественном или формальном языке; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.

В математике существуют нерешённые проблемы, решение которых учёным очень хотелось бы найти. Некоторые из них можно найти в статье «Гипотеза». За доказательства особенно интересных и важных утверждений математические общества назначают премии.[источник не указан 1311 дней]

В информатике математические доказательства используются для верификации и анализа правильности алгоритмов и программ. см. логика в информатике} в рамках технологий доказательного программирования.

Формальное доказательство

Когда говорят о формальном доказательстве, прежде всего описывают формальную модель — множество аксиом, записанных с помощью формального языка, и правил вывода. Формальным выводом называется конечное упорядоченное множество строк, написанных на формальном языке, таких, что каждая из них либо является аксиомой, либо получена из предыдущих строк применением одного из правил вывода. Формальным доказательством утверждения называется формальный вывод, последней строкой которого является данное утверждение. Утверждение, имеющее формальное доказательство, называется теоремой, а множество всех теорем в данной формальной модели (рассматриваемое вместе с алфавитом формального языка, множествами аксиом и правил вывода) называется формальной теорией.

Теория называется полной, если для любого утверждения доказуемо оно или его отрицание, и непротиворечивой, если в ней не существует утверждений, которые можно доказать вместе с их отрицаниями (или, эквивалентно, если в ней существует хотя бы одно недоказуемое утверждение). Большинство «достаточно богатых» математических теорий, как показывает первая теорема Гёделя о неполноте, являются неполными либо противоречивыми. Самым распространённым набором аксиом в наше время является аксиоматика Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (хотя некоторые математики выступают против использования последней). Теория на основе этой системы аксиом не полна (например, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в ней — в предположении, что эта теория непротиворечива). Несмотря на повсеместное использование этой теории в математике, её непротиворечивость не может быть доказана методами её самой. Тем не менее, подавляющее большинство математиков верит в её непротиворечивость, считая, что в противном случае противоречия уже давно были бы обнаружены.

Исторический очерк

В странах Древнего Востока (Вавилоне и Древнем Египте) решение математических задач приводилось без обоснования и было догматичным. Понятия доказательства не существовало и в Древней Греции в VIII—VII веках до н. э. Однако уже в VI веке до н. э. в Греции логическое доказательство становится основным методом установления истины. В это время были построены первые математические теории и математические модели мира, которые имели вполне современный вид, то есть строились из конечного числа посылок с помощью логических умозаключений. По словам Аристотеля, доказательство выявляет сущность вещей[3].

Первые доказательства использовали простейшие логические построения. В частности Фалес Милетский, доказавший что диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны, две пересекающиеся прямые образуют равные углы, видимо, использовал в своих доказательствах методы перегибания и наложения фигур. По словам греческого философа Прокла (V век н. э.) «Иногда он рассматривал вопрос несколько общо, иногда опираясь на наглядность». Уже при Пифагоре доказательство переходит от конкретных представлений к чисто логическим заключениям[4]. Известно, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которое является основой понятия иррациональности, скорее всего принадлежит пифагорейцам, хотя впервые приведено в Началах Евклида (X), происходит от противного и основано на теории делимости чисел на два[5]. Возможно, что расхождение во взглядах на роль математического доказательство явилось одной из причин конфликта между Евдоксом и Платоном[6].

Что и требовалось доказать

Традиционно окончание доказательства обозначалось сокращением «Q.E.D.», от латинского выражения лат. Quod Erat Demonstrandum («Что и требовалось доказать»).

Сейчас для обозначения окончания доказательства чаще используется знак или , , //, а также русская аббревиатура «ч. т. д.».

Литература

Примечания

  1. Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23-25.
  2. Цымбалов А. С. ТЕОРЕМА ФЕРМА. Доклад на конференцию. Современная гуманитарная академия.(недоступная ссылка — история) Проверено 14 мая 2011.}
  3. История математики, том I, 1970, с. 59-61
  4. История математики, том I, 1970, с. 65-66
  5. История математики, том I, 1970, с. 73
  6. История математики, том I, 1970, с. 95

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем со сдачей теста

Полезное


Смотреть что такое "Математическое доказательство" в других словарях:

  • математическое доказательство — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN mathematic argument …   Справочник технического переводчика

  • Доказательство — Доказательство  рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое либо утверждение. В разных областях науки и человеческой деятельности этот термин имеет разные значения. Определения Математическое доказательство Доказательство… …   Википедия

  • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — рассуждение, устанавливающее истинность к. л. утверждения путем приведения др. утверждений, истинность которых уже установлена. В Д. различаются тезис утверждение, которое нужно доказать, и основание, или аргументы, те утверждения, с помощью… …   Философская энциклопедия

  • доказательство — рассуждение, устанавливающее истинность к. л. утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже доказана. В Д. различаются тезис утверждение, которое нужно доказать, и основание, или аргументы, те утверждения, с помощью… …   Словарь терминов логики

  • Физическое и математическое учение Прокла Диадоха — Содержание 1 Теория познания 2 Астрономия 3 Физика 4 Математика …   Википедия

  • МОДЕЛИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ В СОЦИОЛОГИИ — словосочетание, обозначающее использование математич. языка и аппарата для описания и последующего анализа основных свойств соц. явлений и процессов. М.м. дает возможность заменить непосредственный анализ реальных явлений анализом свойств и… …   Российская социологическая энциклопедия

  • Шнобелевская премия — Викиновости по теме: Антинобелевские премии 2006 …   Википедия

  • Химия — Первоначальное значение и происхождение этого слова неизвестно; возможно, что оно просто старое название северного Египта, и тогда наука Chemi значит египетская наука; но так как Chemi, кроме Египта, обозначало еще черный цвет, a μελάνοσις… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Законы и гипотезы химии — Основные законы химии могут быть разделены на качественные и количественные. Содержание 1 Качественные законы 1.1 I. Закон фаз Гиббса …   Википедия

  • Законы и теории химии — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Всю совокупнос …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Математическое доказательство» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»