Теория Галуа

Теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, изучающий симметрии корней многочленов. Симметрии описываются в терминах группы перестановок корней многочлена (группа уравнения) — термин, впервые использованный Эваристом Галуа.

Содержание

Приложение к классическим задачам

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
  2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами, которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени a x² + b x + c имеются два корня x1 и x2, симметричных относительно точки x=-b/2a. Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональны, то уравнению x-x1=0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x1x2, и изоморфна \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен (x2−5)2−24.

Его корни: a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}.

Существует 4!=24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — a+d=0. Поскольку a+c≠0, перестановка aa, bb, cd, dc не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что (a+b)²=8, но (a+c)²=12. Поэтому перестановка aa, bc, cb, dd не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)
(a, b, c, d) → (c, d, a, b)
(a, b, c, d) → (b, a, d, c)
(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

и является четверной группой Клейна, изоморфной (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа.

Пусть есть основное поле K и многочлен P\in K[x]. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте.

В классической теории Галуа в качестве основного поля используется поле рациональных чисел \mathbb{Q}.

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения P(x)=0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа уравнения разрешима.

Для уравнения n-й степени в общем виде группа Галуа изоморфна симметрической группе Sn, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы Sn при n>4 не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n, корни которых не представимы в виде радикалов — теорема Абеля-Руффини.

См. также

Ссылки

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теория Галуа" в других словарях:

  • Дифференциальная теория Галуа — В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи. Содержание …   Википедия

  • Галуа — Галуа, Эварист Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом Эварист Галуа (фр. Évariste Galois; 26 октября 1811, Бур ля Рен, О де Сен, Франция  31 мая …   Википедия

  • Галуа теория — созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным; устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи других более простых алгебраических уравнений (обычно низших степеней). * * * ГАЛУА… …   Энциклопедический словарь

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

  • Теория групп — Группа (математика) Теория групп Осно …   Википедия

  • Галуа, Эварист — Эварист Галуа Évariste Galois Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом …   Википедия

  • ГАЛУА Эварист — (Galois, Evariste) (1811 1832), французский математик, создатель одного из важных разделов теории групп. Родился 26 октября 1811 в Бур ла Рене близ Парижа. В 1823 после основательной домашней подготовки под руководством матери поступил в… …   Энциклопедия Кольера

  • ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ — когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения , действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений , a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).… …   Математическая энциклопедия

  • Галуа теория —         созданная Э. Галуа теория алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным, т. е. уравнений вида                   устанавливает условия сводимости решения таких уравнений к решению цепи др. алгебраических уравнений (обычно… …   Большая советская энциклопедия

  • ГАЛУА ГРУППА — группа автоморфизмов Галуа расширения L поля k, т. е. группа, состоящая из всех автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Г. г. обозначается или . Поле инвариантов совпадает с полем k. Если L поле разложения… …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Теория Галуа., Чеботарев Н.Г.. Настоящая монография представляет обзор важнейших результатов, полученных в настоящее время по теории Галуа. Теория Галуа, как отдельный комплекс проблем и методов, выделяется в… Подробнее  Купить за 2523 грн (только Украина)
  • Теория Галуа., Чеботарев Н.Г.. Настоящая монография представляет обзор важнейших результатов, полученных в настоящее время по теории Галуа. Теория Галуа, как отдельный комплекс проблем и методов, выделяется в… Подробнее  Купить за 2243 руб
  • Теория Галуа, Постников М.М.. В предлагаемой читателю книге, написанной известным математиком М. М. Постниковым, излагаются основы теории Галуа. Изложение носит элементарный характер; от читателя требуется владение… Подробнее  Купить за 796 руб
Другие книги по запросу «Теория Галуа» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»