Теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, изучающий симметрии корней многочленов. Симметрии описываются в терминах группы перестановок корней многочлена (группа уравнения) — термин, впервые использованный Эваристом Галуа.

Приложение к классическим задачам

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами, которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени a x² + b x + c имеются два корня x₁ и x₂, симметричных относительно точки x=-b/2a. Возможны два варианта:

• Если эти корни рациональны, то уравнению x-x₁=0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
• Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x₁⇔x₂, и изоморфна $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен (x²−5)²−24.

Его корни: $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=\sqrt{2}-\sqrt{3}, c=-\sqrt{2}+\sqrt{3}, d=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$.

Существует 4!=24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — a+d=0. Поскольку a+c≠0, перестановка a→a, b→b, c→d, d→c не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что (a+b)²=8, но (a+c)²=12. Поэтому перестановка a→a, b→c, c→b, d→d не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)

(a, b, c, d) → (c, d, a, b)

(a, b, c, d) → (b, a, d, c)

(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

и является четверной группой Клейна, изоморфной $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа.

Пусть есть основное поле K и многочлен $P\in K[x]$. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте.

В классической теории Галуа в качестве основного поля используется поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения P(x)=0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа уравнения разрешима.

Для уравнения n-й степени в общем виде группа Галуа изоморфна симметрической группе S_n, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы S_n при n>4 не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n, корни которых не представимы в виде радикалов — теорема Абеля-Руффини.

См. также

• Разрешимая группа

Ссылки

• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.

• Постников М. М. Теория Галуа. М.: Физматгиз, 1963.