Пеано кривая

Пеано кривая

Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле , открытые области пространства)

Обычно такие примеры строятся как предел последовательности кривых.

Содержание

Свойства

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта выше содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая

r(t) = (x(t),y(t),t)

где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя так как не есть непрерывная поверхность.

Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Вышеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.

Примеры

Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь приведены первые шесть итераций последовательности кривых.

1. Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом. Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x1 x2 x3 ... xk (каждое из xk равно 0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0,f1 f2 f3 ... fk в троичной системе:

f1 = x1

f2 = x2, если x2 четно, и 2-x2, если x2 нечетно

        x(2k-1), если x2+x4+...+x(2k-2) четно
fk =
        2-x(2k-1), если x2+x4+...+x(2k-2) нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g1 g2 ... gk... в троичной системе счисления:

g1 = x2, если x1 четно, и 2-x2, если x1 нечетно

      x(2k), если x1+x3+...+x(2k-1) четно
gk =
      2-x(2k), если x1+x3+...+x(2k-1) нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x -> [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x -> [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]^2.

Идея почерпнута в книге:

Макаров Б.Н. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" М.:Наука, 1992, стр. 44

Обобщения

Существует аналог кривых Пеано, заполняющий многомерный куб и даже гильбертов кирпич.

Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:

Если Xконтинуум, то эквивалентны условия:

  1. пространство X локально связно,
  2. X — непрерывный образ интервала.


История

Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.

Литература

  • Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948.

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Пеано кривая" в других словарях:

  • Пеано кривая —         непрерывная кривая в смысле Жордана (см. Жордана кривая), целиком заполняющая некоторый квадрат, то есть проходящая через все его точки. Первый пример кривой, обладающей этим свойством, был построен Дж. Пеано в 1890. Простой пример П. к.… …   Большая советская энциклопедия

  • ПЕАНО КРИВАЯ — непрерывный образ отрезка, заполняющий внутренность квадрата (или треугольника). Открыта Дж. Пеано [1]. П. к., рассматриваемая как плоская фигура, не есть множество, нигде не плотное на плоскости; она является жордановой, но не канторовой кривой …   Математическая энциклопедия

  • Пеано Джузеппе — Пеано (Реапо) Джузеппе (27.8.1858, Кунео, ≈ 20.4.1932, Турин), итальянский математик. Профессор Туринского университета (с 1890). Занимался изучением основных понятий и фактов анализа (вопрос о возможно более широких условиях существования… …   Большая советская энциклопедия

  • Пеано — (Реапо)         Джузеппе (27.8.1858, Кунео, 20.4.1932, Турин), итальянский математик. Профессор Туринского университета (с 1890). Занимался изучением основных понятий и фактов анализа (вопрос о возможно более широких условиях существования… …   Большая советская энциклопедия

  • Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства) Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Обобщения …   Википедия

  • Кривая Жордана — Кривая или линия  геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана …   Википедия

  • Пеано — Пеано, Джузеппе Джузеппе Пеано Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano; 1858 1932) итальянский математик. Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино сине флексионе. Более… …   Википедия

  • Кривая Урысона — (далее кривая)  наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… …   Википедия

  • ПЕАНО — (Реапо) Джузеппе (1858 1932), итальянский математик. Окончил Туринский университет, позже стал там профессором. Его главным достижением стал АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД определения натуральных ЧИСЕЛ. Считается одним из основателей математической логики …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Кривая Леви — Кривая Леви  фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»