ПЕАНО КРИВАЯ

ПЕАНО КРИВАЯ

- непрерывный образ отрезка, заполняющий внутренность квадрата (или треугольника). Открыта Дж. Пеано [1]. П. к., рассматриваемая как плоская фигура, не есть множество, нигде не плотное на плоскости; она является жордановой, но не канторовой кривой, а потому не является линией. Построение П. к., заполняющей квадрат, см. в ст. Линия;оно принадлежит Д. Гильберту (D. Hilbert). На рис. 1 приведен аналог его построения для треугольника (первые шесть шагов) (другие конструкции см. в [2] и [3]).


Всякая П. к. имеет кратные точки - это "предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой" (Н. Н. Лузин). Не существует П. к., всякая точка к-рой была бы простой или двукратной, но существует П. к., имеющая самое большее лишь трехкратные точки (в счетном числе), - такова, напр., кривая, построенная самим Дж. Пеано; конструкция Д. Гильберта содержит четырехкратные точки (также в счетном числе).

С понятием П. к. связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей,- такова, напр., кривая , где первые две функции задают П. к. Хотя эта, дуга и может служить непроницаемой для дождя крышей, однако она вовсе не есть непрерывная поверхность.

Известный интерес представляют т. н. правильные замкнутые кривые типа Пеано - пределы последовательностей симметричных замкнутых кривых, соответствующих последовательностям триангуляции произвольного правильного многоугольника, каждая из К-рых является правильным (т. е. полученным делением на Две равные части) подразделением предыдущей (пример - на рис. 2). При этом последовательность кривых можно выбрать так, чтобы предел площадей областей, ими ограниченных, был равен заданной величине (даже нулю или площади всей подразделяемой фигуры) (рис. 3). Кажется вероятным, что подобные картинки могут быть полезны при исследовании роста кристаллич. структур. Аналогично с помощью последовательностей триангуляции можно строить отображения прямой в плоскость, в частности "периодические" кривые типа Пеано.


Существует аналог П. к., заполняющий многомерный и даже счетномерный куб (см. [3]).

Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича ; если X - континуум, то эквивалентны условия: а) пространство Xлокально связно, б) X - непрерывный образ интервала.

Лит.:[1] Peano G., "Math. Ann.", 1890, Bd 36, S. 157; [2] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1877; [3] Лузин И. И., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948.

М. И. Войцеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПЕАНО КРИВАЯ" в других словарях:

  • Пеано кривая —         непрерывная кривая в смысле Жордана (см. Жордана кривая), целиком заполняющая некоторый квадрат, то есть проходящая через все его точки. Первый пример кривой, обладающей этим свойством, был построен Дж. Пеано в 1890. Простой пример П. к.… …   Большая советская энциклопедия

  • Пеано кривая — Кривая Пеано общее название для параметрических кривых образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле , открытые области пространства) Обычно такие примеры строятся как предел последовательности кривых. Содержание 1 Свойства 2 Примеры… …   Википедия

  • Пеано Джузеппе — Пеано (Реапо) Джузеппе (27.8.1858, Кунео, ≈ 20.4.1932, Турин), итальянский математик. Профессор Туринского университета (с 1890). Занимался изучением основных понятий и фактов анализа (вопрос о возможно более широких условиях существования… …   Большая советская энциклопедия

  • Пеано — (Реапо)         Джузеппе (27.8.1858, Кунео, 20.4.1932, Турин), итальянский математик. Профессор Туринского университета (с 1890). Занимался изучением основных понятий и фактов анализа (вопрос о возможно более широких условиях существования… …   Большая советская энциклопедия

  • Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства) Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Обобщения …   Википедия

  • Кривая Жордана — Кривая или линия  геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана …   Википедия

  • Пеано — Пеано, Джузеппе Джузеппе Пеано Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano; 1858 1932) итальянский математик. Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино сине флексионе. Более… …   Википедия

  • Кривая Урысона — (далее кривая)  наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… …   Википедия

  • ПЕАНО — (Реапо) Джузеппе (1858 1932), итальянский математик. Окончил Туринский университет, позже стал там профессором. Его главным достижением стал АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД определения натуральных ЧИСЕЛ. Считается одним из основателей математической логики …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Кривая Леви — Кривая Леви  фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»