Комплексная плоскость

Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость[1] — это двумерное вещественное пространство \mathbb{R}^2, которое изоморфно полю комплексных чисел \mathbb{C}. Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида (x,y), где x и yвещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа z=x+iy:

x=\mathrm{Re}\,z,
y=\mathrm{Im}\,z.

Упорядоченную пару (x,y) естественно интерпретировать как радиус-вектор с началом в нуле и с концом в точке (x,y).

В силу изоморфизма между \mathbb C и \mathbb{R}^2, алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:

  • сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;
  • умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с его поворотом и растяжением.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.

Комплекснозначные функции комплексного переменного обычно интерпретируются как отображения комплексных плоскости или сферы в себя. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.

Рассматривая на комплексной плоскости топологию \mathbb{R}^2, можно вводить понятия открытых, замкнутых множеств, и давать определения таким объектам как кривые и формулировать такие свойства комплексных функций как непрерывность, дифференцируемость и аналитичность, а комплексное представление позволяет компактно описывать эти свойства на языке соотношений между вещественными и мнимыми частями, а также, между модулями и аргументами соответствующих комплексных чисел.

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Содержание

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью {\mathcal U}_{z_0} точки z_0\in\mathbb C называется множество вида {\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности \dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на \mathbb C полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка z_0\in\mathbb C будет предельной для множества G\subset\mathbb C, если для произвольной окрестности {\mathcal U}_{z_0} пересечение {\mathcal U}_{z_0}\cap G будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается G'.

Множество G\subset\mathbb C будет называться замкнутым, если для него справедливо включение G'\subset G. Ясно видно, что для произвольного множества G множество \overline{G}=G\cup G' будет замкнуто; оно называется замыканием множества G.

Граница

Точка z_0\in\mathbb C будет называться граничной для множества G\subset\mathbb C, если для произвольной окрестности {\mathcal U}_{z_0} пересечения {\mathcal U}_{z_0}\cap G и {\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G) будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством \partial G или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество E\subset\mathbb C будет называться всюду плотным в ином множестве G\subset\mathbb C, если для произвольной точки z_0\in G и любой окрестности {\mathcal U}_{z_0} пересечение {\mathcal U}_{z_0}\cap E непусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой z_0 и некоторым множеством G\subset\mathbb C как величину \mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в \mathbb C: \mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1).

Связность

Множество G\subset\mathbb C называется связным, если для него выполнено соотношение \inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество G можно представить в виде объединения (конечного или счетного) \sum G_n, где G_n — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества G. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества

Множество G\subset\mathbb C называется звездным относительно точки z_0\in G, если для произвольной точки z\in G выполняется включение \overline{z_0z}\subset G.

Множество G\subset\mathbb C называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество G^* называется выпуклой оболочкой множества G, если оно выпукло, G\subset G^* и для любого выпуклого множества G^{**}, содержащего множество G выполняется включение G^*\subset G^{**}.

Ломаной \Gamma называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество G называется линейно связным, если для двух произвольных точек z_1,z_2\in G существует ломаная \Gamma\subset G такая, что выполняется z_1,z_2\in\Gamma.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на \mathbb C

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости \mathbb C называется отображение вида \varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции \varphi(t), но и её направление. Для примера, функции \varphi(t) и \eta(t)=\varphi(1-t) будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые \varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C и \varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C называются гомотопными, если существует кривая \xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C, зависящая от параметра q таким образом, что \xi(t,0)\equiv\varphi_0 и \xi(t,1)\equiv\varphi_1.

Бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: z=\infty. При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

  • \frac{z}{\infty}=0; z+\infty=\infty (z \ne \infty)
  • z \cdot \infty=\infty; \frac{z}{0}=\infty (z \ne 0)

\varepsilon-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z, модуль которых больше, чем \varepsilon, то есть внешняя часть \varepsilon-окрестностей начала координат.

См. также

Литература

Примечания

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
  2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Комплексная плоскость" в других словарях:

  • комплексная плоскость — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN complex plane …   Справочник технического переводчика

  • комплексная плоскость — kompleksinė plokštuma statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. complex plane; Gaussian plane vok. Gaußsche Zahlenebene, f; komlexe Ebene, f rus. комплексная плоскость, f pranc. plan complexe, m; plan de Gauss, m …   Automatikos terminų žodynas

  • комплексная плоскость — kompleksinė plokštuma statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. complex plane vok. Komplexebene, f rus. комплексная плоскость, f pranc. plan complexe, m …   Fizikos terminų žodynas

  • комплексная плоскость вихретокового преобразователя — Плоскость с двумя ортогональными координатными осями, по одной из которых откладываются действительные составляющие э.д.с, напряжения или комплексного сопротивления преобразователя, а по другой мнимые. [ГОСТ 24289 80] Тематики контроль… …   Справочник технического переводчика

  • Комплексная плоскость вихретокового преобразователя — 8.   Комплексная плоскость вихретокового преобразователя Complex plane of eddy current probe Плоскость с двумя ортогональными координатными осями, по одной из которых откладываются действительные составляющие э.д.с, напряжения или комплексного… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость комплексного переменного , компактифицированная посредством добавления бесконечно удаленной точки и обозначаемая . Окрестностью является внешность любого круга в , т. е. множество вида . Р. к. п. есть Александрова бикомпактное… …   Математическая энциклопедия

  • Расширенная комплексная плоскость — Сфера Римана риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой . Как вещественное многообразие диффеоморфна двумерной сфере S2. Содержание 1 Координаты …   Википедия

  • S-плоскость — комплексная плоскость, определённая двумя взаимно перпендикулярными осями, одна из которых называется мнимой осью, а другая действительной осью. S плоскость является простейшим случаем комплексной плоскости. Каждой точке на плоскости ставится в… …   Википедия

  • ГОСТ 24289-80: Контроль неразрушающий вихретоковый. Термины и определения — Терминология ГОСТ 24289 80: Контроль неразрушающий вихретоковый. Термины и определения оригинал документа: 51. Абсолютный вихретоковый преобразователь Absolute eddy current probe Вихретоковый преобразователь, сигнал которого определяется… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — а н а л и т и ч е с к ой ф у н к ц и и w=f(z) к о м п л е к с н о г о п е р ем е н н о г о z поверхность R такая, что данная полная аналитическая функция w=f(z), вообще говоря многозначная, может рассматриваться как однозначная аналитич. ция… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»