- Комплексная плоскость
-
Ко́мпле́ксная плоскость[1] — это двумерное вещественное пространство
, которое изоморфно полю комплексных чисел
. Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида
, где
и
— вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа
:
Упорядоченную пару
естественно интерпретировать как радиус-вектор с началом в нуле и с концом в точке
.
В силу изоморфизма между
и
, алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:
- сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;
- умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с его поворотом и растяжением.
Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.
Комплекснозначные функции комплексного переменного обычно интерпретируются как отображения комплексных плоскости или сферы в себя. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.
Рассматривая на комплексной плоскости топологию
, можно вводить понятия открытых, замкнутых множеств, и давать определения таким объектам как кривые и формулировать такие свойства комплексных функций как непрерывность, дифференцируемость и аналитичность, а комплексное представление позволяет компактно описывать эти свойства на языке соотношений между вещественными и мнимыми частями, а также, между модулями и аргументами соответствующих комплексных чисел.
Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.
Содержание
Множества на комплексной плоскости
Открытые множества
Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью
точки
называется множество вида
. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности
.
Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на
полностью определено.
Предельная точка и замкнутое множество
Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка
будет предельной для множества
, если для произвольной окрестности
пересечение
будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается
.
Множество
будет называться замкнутым, если для него справедливо включение
. Ясно видно, что для произвольного множества
множество
будет замкнуто; оно называется замыканием множества
.
Граница
Точка
будет называться граничной для множества
, если для произвольной окрестности
пересечения
и
будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством
или просто границей.
Всюду плотные множества
Множество
будет называться всюду плотным в ином множестве
, если для произвольной точки
и любой окрестности
пересечение
непусто.
Связность
Расстояние между множествами
Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой
и некоторым множеством
как величину
.
На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в
:
.
Связность
Множество
называется связным, если для него выполнено соотношение
. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество
можно представить в виде объединения (конечного или счетного)
, где
— непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества
. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.
Выпуклые, звездные и линейно связные множества
Множество
называется звездным относительно точки
, если для произвольной точки
выполняется включение
.
Множество
называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество
называется выпуклой оболочкой множества
, если оно выпукло,
и для любого выпуклого множества
, содержащего множество
выполняется включение
.
Ломаной
называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество
называется линейно связным, если для двух произвольных точек
существует ломаная
такая, что выполняется
.
Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.
Кривые на
Кривые и пути
Кривой или путём на комплексной плоскости
называется отображение вида
. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции
, но и её направление. Для примера, функции
и
будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.
Гомотопия кривых
Кривые
и
называются гомотопными, если существует кривая
, зависящая от параметра
таким образом, что
и
.
Бесконечно удалённая точка
В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой:
. При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:
-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек
, модуль которых больше, чем
, то есть внешняя часть
-окрестностей начала координат.
См. также
Литература
- Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
- Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.
Примечания
- ↑ Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
- Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
- Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
- Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
- В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
- ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.
Категория:- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.