Двойные числа


Двойные числа

Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа — гиперкомплексные числа вида «a + j * b», где a и b — вещественные числа и j^2 = 1.

Содержание

Определение

Алгебраическое определение

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y). Сложение и умножение определяются по правилам:

(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y')
(x,y) * (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x')

Числа вида (a,0) отождествляются с вещественными числами, а j = (0,1). Тогда соответствующие тождества принимают вид:

(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y')
(x + j y) * (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x')

Матричное представление

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

 j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}

Арифметические операции

  • Сложение
    (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j
  • Вычитание
    (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j
  • Умножение
    (a+bj)*(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j
  • Деление на число, не являющееся делителем нуля
    \frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j

Свойства

 \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x, где sh и ch — гиперболические синус и косинус.
 \sin j x = j \sin x
 \cos j x = \cos x

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля и все последние имеют вид «a * (1\pm j)».

Если взять \alpha=(1+j)/2 и \beta=(1-j)/2, то

\alpha \beta=0, \alpha^2=\alpha и \beta^2=\beta.

Любое двойное число может быть представлено как сумма \alpha x + \beta y, где x и y — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Двойные числа" в других словарях:

  • Числа Мерсенна — числа вида , где натуральное число. Названы в честь французского математика Марена Мерсенна. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … (последовательность A000225 в OEIS) Иногда числами Мерсенна …   Википедия

  • ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — гиперкомплексные числа вида a+bе, где аи b действительные числа, и для двойных чисел е 2= + 1, а для дуальных чисел е 2=0. Сложение Д. и д. ч. определяется формулой Умножение двойных чисел производится по формуле а дуальных чисел по формуле… …   Математическая энциклопедия

  • Двойные электровакуумные триоды производства СССР — Ниже приведен список электронных ламп двойных триодов, выпускавшихся в СССР. Лампы сгруппированы в таблицы по типу оформления. В каждой таблице лампы отсортированы в порядке возрастания напряжения накала и номера разработки. При составлении… …   Википедия

  • Числа Шрёдера — (нем. Schröder) в комбинаторике описывают количества путей из левого нижнего угла квадратной решётки n×n в противоположный по диагонали угол, используя только ходы вверх, вправо или вверх вправо («ходом короля»), с дополнительным условием,… …   Википедия

  • Двойные соли — (хим ). Двойными солями называются такие химические соединения, в состав которых входят два металла при одном галоиде, простом или сложном [Под сложным галоидом разумеется остаток кислородных кислот, напр. SO4 (= H2SO4 H2), NO2 (= HNO3 H) и т.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Числа Кэли — Алгебра Кэли  определённый тип гиперкомплексных чисел, 8 мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Число Кэли  это линейная комбинация… …   Википедия

  • Двойные ряды — (мат.). Бесконечные ряды, каждый член кот. представляет из себя сумму некоторого сходящегося бесконечного ряда, суть так называемые Д. ряды или ряды с двумя входами (sériés à double entrée), a потому Д. ряды суть ряды вида , где m и n суть два… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Дуальные числа — или (гипер)комплексные числа параболического типа гиперкомплексные числа вида , где и   вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную …   Википедия

  • Супернатуральные числа — (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число является формальным произведением: где может быть любым простым числом, а каждое является или натуральным числом …   Википедия

Книги