Комплексная функция

Термин комплексная функция может относиться к двум видам функций:

Комплекснозначная функция

Комплекснозначная функция — функция вещественного переменного, имеющая комплексные значения:

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$.

Такая функция может быть представлена в виде

$\! f(x) = u(x)+iv(x)$,

где $\! u(x)$ и $\! v(x)$ — вещественные функции. Функция $\! u(x)$ называется вещественной частью функции $\! f(x)$, а $\! v(x)$ — её мнимой частью.

Функция комплексного переменного

Это понятие — обобщение предыдущего варианта:

$f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного, или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

$\! f(z)=u(z)+i v(z)$,

однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы функция $f(z)$ была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$;

$\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}$.

См. также

• Комплексное число
• Комплексный анализ

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.