Основная теорема алгебры

Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Эквивалентная формулировка теоремы следующая:

Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени $n$ над полем комплексных чисел имеет в нём ровно $n$ корней, с учётом кратности корней.

Доказательство.

У многочлена $f(x)$ есть корень $a$, значит, по теореме Безу, он представим в виде $(x-a)g(x)$, где $g(x)$ — другой многочлен. Применим теорему к $g(x)$ и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте $g(x)$ не окажется линейный множитель.

Доказательство.

Представим полином $F(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n$ в виде суммы $F(z)=f(z)+g(z)$, где $f(z)=a_0z^n$, $g(z)=a_1z^{n-1}+...+a_n$. Составим соотношение $\frac{g(z)}{f(z)}=\frac{a_1}{a_0}\frac {1}{z}+..+\frac{a_n}{a_0}\frac {1}{z^n}$. Легко видеть, что для любых коэффициентов $a_0,...,a_n$ всегда найдется такое значение $R_0$, что для всех значений $|z|=R>R_0$ имеет место неравенство $0<\left | \frac{g(z)}{f(z)} \right |_{|z|=R}<1$. В силу теоремы Руше следует, что полное число нулей функции $F(z)$ в круге $|z|=R$ равно числу нулей в этом круге функции $f(z)=a_0z^n$. Но функция $f(z)=a_0z^n$ на всей комплексной плоскости имеет один единственный n-кратный корень $n=0$. Отсюда, в силу произвольности $R \ge R_0$ и следует утверждение теоремы.

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция 1/p, где p — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

История

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (р. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку, придав ей форму, эквивалентную современной:

Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого-нибудь x   f(x)≠0, где f(x) — многочлен степени ≥1 , то найдется точка x₁ такая, что |f(x₁)|<|f(x)|. Доказательство это было бы совершенно строгим, ах, если бы Д’Аламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а затем доказывается, что по крайней мере один из них является комплексным числом.

Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с вещественными коэффициентами, принимающий как положительное, так и отрицательное значение, также имеет и корень, что весьма геометрически наглядно). Его доказательство, по существу, содержит построение поля разложения многочлена.

Кроме того, доказательство теоремы не вполне «алгебраическое», оно привлекает утверждения о топологии комплексной плоскости, либо хотя бы вещественной прямой.

Ссылки

• В.М.Тихомиров, В.В.Успенский Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50-70.

• В.Б.Алексеев Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192.