КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО

- число вида z=x+iy, где хи у- действительные числа, а - так наз. мнимая единица, т. е. число, квадрат к-рого равен -1 (в технической литературе применяется также обозначение ); хназ. действительной, или вещественной, частью К. ч. z, а у- его мнимой частью (обозначения x=Re z, y=Im z). Действительные числа - частный случай К. ч. при у=0;К. ч., не являющиеся действительными, т. е. такие, что у неравно 0, иногда наз. мнимым и числами. В приведенных терминах, в основном традиционного происхождения, нашел свое отражение сложный исторический процесс развития понятия К. ч.

Алгебраическая природа К. ч. состоит в том, что К. ч. есть элемент (алгебраического) расширения С поля действительных чисел R, получаемого алгебраич. присоединением к полю R корня iмногочлена Х ²+1.

Получающееся таким путем поле С наз. полем комплексных чисел. Наиболее важное свойство поля С состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т. е. любой многочлен с коэффициентами из С разлагается на линейные множители. Иначе это свойство алгебраич. замкнутости выражается в том, что любой многочлен степени с коэффициентами из С имеет в С по крайней мере один корень (теорема Д'Аламбера - Гаусса).

Фактическое построение поля С осуществляется следующим образом. В качестве элементов z=(x, у), z' =(x', у'), ..., или комплексных чисел, принимаются точки ( х, у),( х', у'), . . ., плоскости R² с декартовыми прямоугольными координатами хи у, х' и у', ..., причем суммой К. ч. z=(x, у )и z'=( х', у' )наз. К. ч. ( х+х', у+у'), т. е.

а произведением этих К. ч. наз. К. ч. ( хх'-уу', ху'+х'у), т. е.

Нулевой элемент 0=(0, 0) совпадает с началом координат, К. ч. (1, 0) есть единица поля С.

Плоскость R², точки к-рой отождествлены с элементами поля С, наз. комплексной плоскостью. Действительные числа х, х', ... отождествляются при этом с точками ( х,0), ( х', 0), ... оси абсцисс, к-рая применительно к плоскости С наз. действительной, или вещественной, осью. Точки (0, y)=iy,(0, y')=iy',... располагаются на оси ординат, называемой на комплексной плоскости С мнимой ось ю; числа вида iy, iy',... наз. чисто мнимыми. Это представление элементов z, z', ... поля С, или К. ч., в виде точек комплексной плоскости с правилами действий (1) и (2) равносильно указанной выше наиболее употребительной форме записи К. ч.:

называемой также алгебраической, или декартовой, формой записи К. ч. Применительно к алгебраич. форме правила (1) и (2) сводятся к простому условию, что все действия с К. ч. выполняются как с многочленами с учетом свойства мнимой единицы: i-i=j²=-1.

К. ч. z=(x, y) = x+iy и .наз. сопряженными, на плоскости С они располагаются симметрично относительно действительной оси. Сумма и произведение сопряженных К. ч. суть действительные числа:

где наз. модулем, или абсолютной величиной, К. ч. z. Всегда

К. ч. z отлично от 0 тогда и только тогда, когда |z|>0. Отображение есть автоморфизм комплексной плоскости порядка 2 (т. е.), оставляющий на месте все точки действительной оси. При этом ,

Операции сложения и умножения (1) и (2) коммутативны и ассоциативны, связаны соотношением дистрибутивности и для них существуют обратные действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), записываемые в алгебраич. форме следующим образом:

Деление К. ч. z' на К. ч.сводится, таким образом, к умножению z' на К. ч.

На важный вопрос о том, является ли построенное расширение С поля действительных чисел с указанными выше правилами действий единственно возможным или же мыслимы существенно иные варианты, дает ответ теорема единственности: всякое (алгебраическое) расширение поля R, получающееся из R присоединением корня iуравнения Х ²+1=0, изоморфно С, т. е. с требованием алгебраич. присоединения корня iсовместимы только указанные выше правила действий с К. ч. Этому факту, однако, не противоречит наличие других интерпретаций К. ч., отличных от истолкования К. ч. как точек комплексной плоскости. Наиболее часто в приложениях используются следующие две интерпретации.

Векторная интерпретация. К. ч. z=x+iy можно отождествить с вектором ( х, у )с координатами хн у, приложенным в начале координат (см. рис.). При такой интерпретации сложение и вычитание К. ч. производится по правилам сложения и вычитания векторов. Однако умножение и деление К. ч., совершаемые необходимо по формулам (2) и (3), не имеют непосредственных аналогов в векторной алгебре (см. [4], [5]). Векторная интерпретация К. ч. непосредственно применяется, напр., в электротехнике для изображения переменных синусоидальных токов и напряжений.

Матричная интерпретация. К. ч. w=u+iv можно отождествить с матрицей второго порядка специального вида

причем действия сложения, вычитания и умножения выполняются по обычным правилам матричной алгебры.

Применяя полярные координаты на комплексной плоскости С, т. <е. радиус-вектор r=|z| и полярный угол j=Arg z, называемый здесь аргументом К. ч. z (иногда также фазой, или амплитудой, К. ч. z), получают тригонометрическую, или полярную, форму К. ч.:

z=r(cos j+i sin j), r соs j=Re z, r sin j=Im z. (4)

Аргумент j=Аrg z является многозначной действительной функцией К. ч. значения к-рой для данного z отличаются одно от другого на целое кратное 2л; аргумент К. ч. z=0 не определен. Обычно используется главное значение аргумента j=arg z, определяемое дополнительным условием Эйлера формулы преобразуют тригонометрич. форму (4) в показательную форму К. ч.:

Формы (4) и (5) особенно удобны для выполнения умножения и деления К. ч.:

При умножении (делении) К. ч. модули перемножаются (модуль делимого делится на модуль делителя) а аргументы складываются (из аргумента делимого вычитается аргумент делителя). Возведение в степень К. ч. и извлечение корня из К. ч. производятся по так наз. формулам Муавра:

причем первая из них применима и для целых отрицательных показателей п. Геометрически умножение К. ч. z на К. ч. z' = r'e^ij' сводится к повороту вектора z на угол ф' (против часовой стрелки при j' >0) и последующему изменению его длины в |z'| = r' раз; в частности, умножение на К. ч. z' = е ^ij', по модулю равное единице, есть не что иное как поворот на угол j'. Таким образом, К. ч. могут быть истолкованы и как операторы специального вида ( аффиноры). В связи с этим иногда удобна смешанная векторно-матричная интерпретация умножения К. ч.:

при к-рой множимое трактуется как матрица-вектор,. а множитель - как матрица-оператор.

Биективное отображение переносит в поле К. ч. С топологию двумерного действительного числового пространства R², эта топология согласуется со структурой поля С и, таким образом, С есть топологическое тело. Модуль z есть евклидова норма К. ч. z = (z, у), и поле С, наделенное этой нормой, есть комплексное одномерное евклидово пространство, называемое также плоскостью комплексного переменного С. Топологич. произведение С ⁿ=( п раз, ) есть комплексное n-мерное евклидово пространство. Вследствие алгебраич. замкнутости поля К. ч. С, изучение функций и математич. анализ вообще приобретают должную полноту и законченность только при рассмотрении поведения функций: в комплексной области. В частности, даже поведение таких элементарных функций, как zⁿ,cos z, sin z, e^z, может быть правильно понято только при условии их рассмотрения как функций комплексного переменного (см. Аналитическая функция).

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде "Великое искусство, или об алгебраических правилах" Дж. Кардано (G. Cardano, 1545), к-рый счел их бесполезными, непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности при решении кубического уравнения в так наз. неприводимом случае (когда действительные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин) впервые оценил Р. Бомбелли (В. Bombelli, 1572). Он же дал нек-рые простейшие правила действий с К. ч. Вообще, выражения вида появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть, в 16 -17 вв. "мнимыми". Однако даже для многих крупных ученых 17 в. алгебраич. и геометрич. сущность мнимых величин представлялась неясной и даже загадочной и мистической. Известно, напр., что И. Ньютон (I. Newton) не включал мнимые величины в понятие числа, а Г. Лейбницу (G. Leibniz) принадлежит фраза: "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием".

Задача о выражении корней степени п из данного" числа была в основном решена в работах А. Муавра (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722). Символ предложил Л. Эйлер (L. Euler, 1777, опубл. 1794). Он же высказал в 1751 мысль об алгобраич. замкнутости поля С, к такому же выводу пришел Ж. Д'Аламбер (J. D'Alembert, 1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит К. Гауссу (С. Gauss, 1799). Он же ввел в употребление термин "К. ч." в 1831. Полное геометрии, истолкование К. ч. и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799). Геометрич. представление К. ч., иногда называемое "диаграммой Аргана", вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей в основном независимо выводы К. Весселя.

Чисто арифметич. теория К. ч. как пар действительных чисел была построена У. Гамильтоном (VV. Hamilton, 1837). Ему же принадлежит важное пространственное обобщение К. ч.- кватернионы, алгебра к-рых некоммутативна. Вообще, в конце 19 в. было доказано, что всякое расширение понятия числа за пределы поля К. ч. возможно только при отказе от каких-либо обычных действий (прежде всего коммутативности). См. также Гиперкомплексное число, Двойные и дуальные числа, Кэли число.

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; [2] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [31 Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1967; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1, 2 изд., М., 1976; [5] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, 2 изд., М., 1977; [6] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [7] Харди Г. X., Курс чистой математики, пер. с англ., М., 1949; [8] Бурбаки Н., Общая топология. Топологические труппы. Числа и связанные с ними пространства, пер. с франц., М., 1969.

Е. Д. Соломещев.