Мнимая единица

Мнимая единица

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду.

Содержание

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i или j. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение f(x)=0 с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для i через радикал (как \sqrt{-1}).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. i — это одно из решений уравнения

x^2 + 1 = 0,   или   x^2 =  -1.

И тогда его вторым решением уравнения будет -i, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

\ldots
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
\ldots

Что может быть записано для любой степени в виде:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

где n — любое целое число.

Отсюда: i^n = i^{n \bmod 4}\, где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число i^i является вещественным :

i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.

Также,

|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}

В частности, \sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\} и \sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «x^2 = -1».

См.также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мнимая единица" в других словарях:

  • МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о., i =. См. Комплексное число …   Большой Энциклопедический словарь

  • мнимая единица — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом, . См. Комплексное число. * * * МНИМАЯ ЕДИНИЦА МНИМАЯ ЕДИНИЦА, число i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о., i =. См. Комплексное число (см. КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО) …   Энциклопедический словарь

  • Мнимая единица —         число i, квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом …   Большая советская энциклопедия

  • МНИМАЯ ЕДИНИЦА — комплексное число i, квадрат к рого равен минус единице …   Математическая энциклопедия

  • МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат к рого равен отрицат. единице; т.о., i = корень из l. См. Комплексное число …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Единица — ЕДИНИЦА, 1) наименьшее из натуральных чисел. 2) Мнимая единица число i, квадрат которого равен отрицательной единице: .   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • Мнимая величина — Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения. Комплексные[1][2] числа  расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где… …   Википедия

  • Единица — (един, один) многозначный термин. Нечто единое целое. Объект, обеспечивающий выполнение определённой функции, и который может быть заменён. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Техни …   Википедия

  • Единица (теория множеств) — Единица (един, один) многозначный термин. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Экономика 4 Государство …   Википедия

  • Мнимая часть —         комплексного числа z = х + iy, множитель у при мнимой единице (См. Мнимая единица) i; М. ч. обозначается Im z …   Большая советская энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»