Мнимая единица

Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли—Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду.

Для комплексных чисел

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская $i$ или $j$. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение $f(x)=0$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для $i$ через радикал (как $\sqrt{-1}$).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. $i$ — это одно из решений уравнения

$x^2 + 1 = 0,$   или   $x^2 = -1.$

И тогда его вторым решением уравнения будет $-i$, что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

$\ldots$

$i^{-3} = i\,$

$i^{-2} = -1\,$

$i^{-1} = -i\,$

$i^0 = 1\,$

$i^1 = i\,$

$i^2 = -1\,$

$i^3 = -i\,$

$i^4 = 1\,$

$\ldots$

Что может быть записано для любой степени в виде:

$i^{4n} = 1\,$

$i^{4n+1} = i\,$

$i^{4n+2} = -1\,$

$i^{4n+3} = -i.\,$

где n — любое целое число.

Отсюда: $i^n = i^{n \bmod 4}\,$ где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число $i^i$ является вещественным :

$i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots$^[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

$i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.$

Также,

$|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .$^[2]

Корни из мнимой единицы

Основная статья: Арифметический корень

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

$u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1$

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

$i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}$

В частности, $\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\}$ и $\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}$

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

$u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1$

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «$x^2 = -1$».

См.также

• Дуальные числа и Двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексные числа

Ссылки

1. ↑ Показательная форма комплексного числа
2. ↑ "abs(i!)", WolframAlpha.

• http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00048/74100.htm