Бикватернион

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Определение

Бикватернионы можно описать как множества чисел вида «$w+x*i+y*j+z*k$»,   где w, x, y, z — есть те или иные «специальные комплексные числа». Альтернативный способ введения — Процедура Кэли — Диксона: это гиперкомплексные числа вида «$a+I*b$»,  где a, b — любые кватернионы, а I — «мнимая единица расширения». Известны три разных вида бикватернионов, в зависимости от того, какого типа «комплексные» числа положены в основу этого представления (иначе говоря, каковы свойства расширяемой операции умножения для числа «I»):

• эллиптические (ординарные) (если $I^2=-1$ );
• параболические (дуальные) (если $I^2=0$);
• гиперболические (двойные) (если $I^2=+1.$)

История и применения

Об ординарных бикватернионах написал Гамильтон, Уильям Роуэн в 1844г. (см. Труды Ирландской Королевской Академии 1844 и 1850 стр.388). В число наиболее видных сторонников этих бикватернионов следует включить Александра Макфарлейна (en:Alexander Macfarlane), Артура У. Конвей (en:Arthur W. Conway), Людвика Зильберштейна (en:Ludwik Silberstein) и Корнелиуса Ланцоша. Единичная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца, на которой основана Специальная теория относительности.

Двойные кватернионы изучал Клиффорд, Уильям. Дуальные кватернионы инструментально обеспечивают нестандартный анализ обычных кватернионов. Далее, если не оговорено, речь идёт об ординарных бикватернионах.

Свойства

«Алгебра бикватернионов» есть тензорное произведение алгебр C⊗H (взятое над вещественными числами), где C - та или иная алгебра комплексных чисел, а H - алгебра обычных (вещественных) кватернионов. Но алгебра двойных кватернионов (=кватернионов по Клиффорду) оказывается также изоморфна прямой сумме H⊕H двух алгебр кватернионов (изоморфизм задан переходом к базису {(1+I)/2, (1-I)/2} из пары идемпотентов).

...

Матричное представление

Есть три комплексные матрицы, для которых: $\begin{pmatrix}i & 0\\0 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}.$  Притом квадрат каждой из этих матриц есть «минус единичная матрица», а если произведению этих матриц сопоставить произведение чисел i*j = k; j*i = -k. Получаем, что порождаемая этим матрицами подгруппа матричной группы изоморфна группе кватернионов. Следовательно, если сопоставить матрице $\begin{pmatrix}u+iv & w+ix\\-w+ix & u-iv\end{pmatrix}$ бикватернион q == u*1 + v*i + w*j + x*k, то для данной 2×2 комплексной матрицы, всегда существуют комплексные величины u, v, w, x в этой форме. Иначе говоря, кольцо комплексных матриц изоморфно^[1] кольцу (ординарных) бикватернионов.

Подалгебры

При рассмотрении (ординарных) бикватернионов, как алгебры над полем вещественных чисел R, набор {1, I, i, Ii, j, Ij, k, Ik} образует базис, эта алгебра имеет вещественную размерность пространства восемь. Притом квадраты всех элементов Ii, Ij, Ik =«+1». Значит, вещественная подалгебра, образуемая $\lbrace x + y(Ii) : x, y \in R \rbrace$ изоморфна кольцу, которое образуют двойные числа (с алгебраической структурой аналогичной строящейся над единичной гиперболой). Элементы Ij, Ik определяют такие же подалгебры.

Элементы $\lbrace x + yj : x,y \in C \rbrace$ образуют подалгебру изоморфную бикомплексным числам (tessarine).

Третий вид подалгебры, т.н. «кокватернионы», порождается Ij, Ik, т.к. вещественное линейное подпространство с базисом {1, i, Ij, Ik} замкнуто по умножению (ведь Ij*Ik=-i). Указанный базис образует диэдрическую группу квадрата, а кокватернионы изоморфны алгебре вещественных матриц 2х2.

Квантовая механика и спинорная алгебра, трактуют бикватернионы Ii, Ij, Ik (или их отрицание), рассматривая их в преставлении M(2,C), как матрицы Паули.

Ссылки

1. ↑ en:Leonard Dickson (1914) Linear Algebras, §13 "Equivalence of the complex quaternion and matric algebras", p.13

• Бикватернионы (ординарные) — популярное изложение
• Vladislav V Kravchenko Applied Quaternionic Analysis. Heldermann 2003, — 134p. ISBN: 3-88538-228-88 (см.)

См. также