P-адическое число

p-адическое число

p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

p-адические числа были введены Гензелем (нем.) в 1897 году^[1].

Поле p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb Q_p$ или $\mathbf Q_p$.

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность $x=\{x_1,x_2,\ldots\}$ вычетов x_n по модулю pⁿ, удовлетворяющих условию $x_n\equiv x_{n+1}\,\mathrm{mod}\,{p^n}.$

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чисел определяется как предел

$\lim_{\leftarrow}\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}$

колец $\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}$ вычетов по модулю pⁿ относительно естественных проекций $\Bbb{Z}/{p^{n+1}}\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/{p^n}\Bbb{Z}$.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p, но и любого составного числа m — получится т. н. кольцо m-адических чисел, но это кольцо в отличие от $\Bbb{Z}_p$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в кольцо p-адических чисел очевидным образом: x = {x,x,...} и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число $x_n\equiv a_n\,\operatorname{mod}\,{p^n}.$, такое, что $0\le a_n<p^n$, мы можем записать каждое целое p- адическое число в виде x = {a₁,a₂,...} однозначным образом. Такой вид называется каноническим. Записывая каждое a_n в p-ичной системе счисления $a_n=b_n\ldots b_2b_1$ и учитывая что $a_n\equiv a_{n+1}\,\mathrm{mod}\,{p^n}.$ мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде $x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}$ или записывая в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления $x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}$. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления (в нашем примере p=5).

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, точно таких, как у исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается $\Bbb{Z}_p$.

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных $\Bbb{Q}_p$ кольца $\Bbb{Z}_p$ целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p обратимо в кольце $\Bbb{Z}_p$, а кратное p однозначно записывается в виде xpⁿ, где x не кратно p и поэтому обратимо, а n > 0, то ясно, что любой ненулевой элемент поля $\Bbb{Q}_p$ может быть записан в виде xpⁿ, где x не кратно p а n любое, если n отрицательно, то исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления мы можем записать любое такое p-адическое число в виде последовательности $x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}$, то есть формально в виде в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа. Так, в той же пятеричной системе имеем:

Метрическое построение

Любое рациональное число r можно представить как $r=p^n\frac ab$ где a и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целое. Тогда | r | _p — p-адическая норма r — определяется как p ^{− n}. Если r = 0, то | r | _p = 0.

Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой d_p, определённой p-адической нормой: d_p(x,y) = | x − y | _p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма | r | _p продолжается по непрерывности до нормы на $\Bbb{Q}_p$.

Свойства

• Каждый элемент x-поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

$x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i$

где n₀ — некоторое целое число, а a_i — целые неотрицательные числа, не превосходящие p − 1, а именно взяв в качестве a_i цифры из записи p-адического числа x в виде последовательности цифр в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике d_p к самому x.

• p-адическая норма | x | _p удовлетворяет сильному неравенству треугольника

$|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.$

• Числа $x\in \mathbb Q_p$ с условием $|x|_p\le 1$ образуют кольцо $\Bbb{Z}_p$ целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $\Bbb{Z}\subset \Bbb{Q}$ в норме | x | _p.
• Числа $x\in \Bbb{Q}_p$ с условием | x | _p = 1 образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
• Совокупность чисел $x\in \Bbb{Q}_p$ с условием | x | _p < 1 является главным идеалом в $\Bbb{Z}_p$ с образующим элементом p.

• метрическое пространство $(\Bbb{Q}_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству, а пространство $(\Bbb{Q}_p,d_p)$ гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
• Для различных p нормы | x | _p независимы, а поля $\Bbb{Q}_p$ неизоморфны.
• Для любых элементов $r_\infty$, r₂, r₃, r₅, r₇, …, таких что $r_\infty \in \Bbb R$ и $r_p\in \Bbb Q_p$, можно найти последовательность рациональных чисел x_n, таких что для любого p, $|x_i-r_p|_p\to 0$ и $|x_i-r_\infty|\to 0$.

Применения

• Если $F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \mod p^k$

эквивалентна разрешимости уравнения

$F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0$

в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (Hensel’s lemma), при n = 1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при n = 1 для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k = 1.

Литература

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
• p-адические числа для «чайников»

Ссылки

1. ↑ Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88.(нем.)