- Абсолютная величина
-
Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .
В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:
Содержание
Основные свойства
С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.
Вещественные числа
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция чётная.
- Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.
Комплексные числа
- Область определения: вся комплексная плоскость.
- Область значений: .
- Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.
Алгебраические свойства
Для любых имеют место следующие соотношения:
- (см. Функция sgn(x)).
- .
Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:
- , причём тогда и только тогда, когда .
- .
- .
- (неравенство треугольника).
- .
- .
- .
- , если существует.
История
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
В языках программирования
Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.
Обобщение
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
См. также
- Модуль комплексного числа
- Модуль вектора
- Норма вектора
- Нормирование
- Нормированное векторное пространство
Примечания
- ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
Категории:- Функции
- Элементарные функции
Wikimedia Foundation. 2010.