Порядковое число

Порядковое число, ординал (лат. ordinalis — порядковый) или трансфинитное число (лат. trans — за, через + finitio — край, предел) в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

• Назовём множество $x$ транзитивным, если каждый элемент $x$ является подмножеством $x$: $\mathrm{Trans}(x)\Leftrightarrow\forall t(t\in x\to t\subseteq x)$.
• Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: $\mathrm{Ord}(x)\Leftrightarrow\mathrm{Trans}(x)\wedge\forall t(t\in x\to\mathrm{Trans}(t))$.

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы $\alpha, \beta, \dots.$ Данная статья придерживается таких обозначений.

Свойства

• Если $\alpha$ — порядковое число, то каждый элемент $\alpha$ — порядковое число.
• Для любых $\alpha, \beta$ выполняется ровно одно из следующих соотношений: $\alpha \in \beta, \alpha = \beta, \beta \in \alpha.$
• Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением $\in$ (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением $\in$), при этом $\bigcap x$ — наименьший элемент множества $x$, $\bigcup x$ — порядковое число, большее или равное любому из элементов множества $x$. Выражения $\alpha < \beta$ и $\alpha \in \beta$ для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения $\in.$
• Для любого вполне упорядоченного множества $x$ существует единственное порядковое число, изоморфное $x$ (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
• Любое $\alpha$ совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем $\alpha$.
• Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
• Пустое множество $\varnothing$ — наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
• $\alpha$ называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно $\varnothing$, либо существует непосредственно предшествующее ему $\beta;$ другими словами, если существует $\beta < \alpha,$ но между ними нельзя вставить другое порядковое число $\beta < \gamma < \alpha.$ В последнем случае говорят, что $\alpha$ — порядковое число, следующее за $\beta$, и пишут: $\alpha = \beta \dot+ 1$ (иногда просто $\alpha = \beta + 1,$ что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
• Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда $\varnothing$ тоже относят к предельным порядковым числам).
• $\alpha \dot+ 1 = \alpha\cup\{\alpha\}.$
• Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:

$\begin{align} &0=\varnothing;\\ &1=\{0\}=0\cup\{0\}=\{\varnothing\};\\ &2=\{0,1\}=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\};\\ &3=\{0,1,2\}=2\cup\{2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\};\\ &\dots \end{align}$

• Множество всех конечных порядковых чисел обозначается $\omega.$ Оно является наименьшим предельным порядковым числом и наименьшим бесконечным (а именно счётным) порядковым числом. Следующим за ним порядковым числом является $\omega \dot+ 1 = \omega\cup\{\omega\}.$
• Условие конечности $\alpha$ можно записать как $\alpha < \omega$ или, что то же самое, $\alpha \in \omega.$
• Существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.
• Каждое множество порядковых чисел $A$ ограничено сверху и имеет точную верхнюю грань, которая обозначается $\sup A.$ При этом $A \subseteq \sup A.$
• Если $\alpha$ — предельное порядковое число или $\varnothing$, то $\sup \alpha = \alpha,$ иначе $\sup \alpha < \alpha.$
• Точная верхняя грань счётного множества счётных порядковых чисел счётна.
• Каждое порядковое число имеет единственное представление в нормальной форме Кантора (англ.).

Арифметика порядковых чисел

Определения операций

• Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:

$\begin{align} &\alpha + 0 = \alpha\\ &\alpha + (\beta \dot+ 1) = (\alpha + \beta) \dot+ 1\\ &\alpha + \gamma = \sup \{ \alpha + \beta | \beta < \gamma \}, \end{align}$

где третье правило применяется в случае, когда $\gamma$ является предельным порядковым числом.

• Используя те же обозначения, определим операцию умножения:

$\begin{align} &\alpha \cdot 0 = 0\\ &\alpha \cdot (\beta \dot+ 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha\\ &\alpha \cdot \gamma = \sup \{ \alpha \cdot \beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}$

• Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:

$\begin{align} &\alpha^0 = 1\\ &\alpha^{\beta \dot+ 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha\\ &\alpha^\gamma = \sup \{ \alpha^\beta \mid \beta < \gamma \}. \end{align}$

Свойства операций

• Сложение порядковых чисел некоммутативно; в частности, $1 + \omega = \omega \ne \omega + 1.$
• Сложение порядковых чисел ассоциативно: $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma,\,$ что позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок.
• Сумма возрастает при росте правого слагаемого и не убывает при росте левого слагаемого: из $\beta_1 > \beta_2\,$ следует $\alpha + \beta_1 > \alpha + \beta_2\,$ и $\beta_1 + \alpha \geqslant \beta_2 + \alpha.$
• Если $\alpha \geqslant \beta,$ то существует единственный ординал $\,\gamma$, для которого $\beta + \gamma = \alpha.\,$
• Умножение порядковых чисел некоммутативно; в частности, $2 \cdot \omega = \omega \ne \omega \cdot 2.$
• Умножение порядковых чисел ассоциативно: $\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma,$ что позволяет записывать произведение нескольких сомножителей без скобок.
• Для сложения и умножения выполняется левая дистрибутивность: $\alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma.$
• $\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha.\,$
• $\alpha + 1 = \alpha \dot+ 1.$
• $\alpha \in \omega \leftrightarrow \alpha + \omega = \omega.$
• $\alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0.$
• $\alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha.$
• $\alpha \in \omega \land \alpha \ne 0 \leftrightarrow \alpha \cdot \omega = \omega.$
• $\alpha + \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \land \beta = 0.$
• $\alpha \cdot \beta = 0 \leftrightarrow \alpha = 0 \lor \beta = 0.$
• $\alpha^0 = 1.\,$
• $\alpha^1 = \alpha.\,$
• $\alpha \ne 0 \leftrightarrow 0^\alpha = 0.$
• $1^\alpha = 1.\,$
• $\alpha \in \omega \land \alpha > 1 \leftrightarrow \alpha^\omega = \omega.$
• $\alpha^\beta \cdot \alpha^\gamma = \alpha^{\beta + \gamma}.$
• $(\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta \cdot \gamma}.$
• $\alpha > 1 \land \beta > \gamma \leftrightarrow \alpha^\beta > \alpha^\gamma.$
• $\beta \in \omega \to \alpha + \beta = \alpha \underbrace{\dot+ 1 \dot+ 1 \dot+ \dots \dot+ 1}_\beta.$
• $\beta \in \omega \to \alpha \cdot \beta = 0 \underbrace{+\alpha+\alpha+\dots+\alpha}_\beta.$
• $\beta \in \omega \to \alpha^\beta = 1 \underbrace{\cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \dots \cdot \alpha}_\beta.$
• В случае конечности аргументов сложение, умножение и возведение в степень переходят в соответствующие операции для целых чисел (с конечными результатами).
• В случае счётности аргументов результаты сложения, умножения и возведения в степень также являются счётными.

См. также

• Кардинальное число

Литература