Икосододекаэдр

Икосододекаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 32 граней (12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников). В икосододекаэдре 30 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два пятиугольника, а также 60 одинаковых рёбер, каждое из которых разделяет треугольник и пятиугольник. Двойственный к икосододекаэдру многогранник — ромботриаконтаэдр.

Для икосододекаэдра с длиной ребра $a$ можно выразить некоторые количественные характеристики:

• объём: $V = \frac{a^3}{6} \left(45 + 17\sqrt{5} \right);$
• площадь: $S = a^2 \left(5\sqrt{3}+ 3\sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \right);$
• двугранный угол: $\alpha = \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142,62^\circ.$

Литература

• Weisstein, Eric W. Icosidodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — Т. 4: Геометрия. — С. 437. — 568 с. — 20 000 экз.