Правильные многомерные многогранники

Правильные многомерные многогранники

Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле. Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.

Содержание

Определение

Флагом n-мерного многогранника P называется набор его граней F=(F_0,F_1,\dots,F_{n-1}), где F_i есть i-мерная грань многогранника Р, причем F_i \subseteq F_{n-1} для i= 1, 2,\dots,n-1.

Правильный n-мерный многогранник — это выпуклый n-мерный многогранник P, у которого для любых двух его флагов F и F' найдётся движение P, переводящее F в F'.


Классификация

n = 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:

Ниже приведены изображения стереографических проекций правильных четырёхмерных многогранников в трёхмерное пространство:

Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

n ≥ 5

В каждой размерности n ≥ 5 существует по 3 многогранника:

Геометрические свойства

Углы

Двугранный угол между смежными гранями правильного многомерного многогранника задаётся формулой:

 \sin\ {\frac{T_N}{2}}=\frac{\cos\ \frac{180^0}{W_{N-1}}}{\cos\ \frac{T_{N-1}}{2}} ;

W_{N-1}T_{N-1}\leqslant 360^0;W_{N-1}\geqslant 3 ;

Где T_N — угол между смежными гранями правильного N-мерного многогранника,T_{N-1} -угол грани, W_{N-1}-натуральное число, параметр, от которого зависит конструкция многогранника (Символ Шлефли).

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы r_N=r_{N-1}tg\ {\frac{T_N}{2}}, где r_{N-1}радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объем N-мерного многогранника V_N=\frac{1}{N}V_{N-1}A_{N-1}r_N, гдеV_{N-1}объем (N-1)-мерной грани,A_{N-1}количество (N-1)-мерных граней.

Cоставление мозаики, мощение

n = 4

n ≥ 5

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Правильные многомерные многогранники" в других словарях:

  • Правильный многогранник — Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией …   Википедия

  • Звёздчатый многогранник — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Звёздчатый многогранник (звёздч …   Википедия

  • Полуправильный многогранник — Полуправильные многогранники  в общем случае это различные выпуклые многогранники, имеющие определённые признаки правильных, такие как одинаковость всех граней или являемость всех граней правильными многоугольниками, а также пространственная …   Википедия

  • Куб — У этого термина существуют и другие значения, см. Куб (значения). Куб Тип Правильный многогранник Грань квадрат …   Википедия

  • Икосаэдр — анимация Тип Правильный многогранник Грань Правильный треугольник Граней 20 …   Википедия

  • Гиперкуб — У этого термина существуют и другие значения, см. Куб 2: Гиперкуб. Гиперкуб  обобщение куба на случай с произвольным числом измерений. Гиперкубом размерности Ν называется множество точек в Ν мерном евклидовом пространстве, удовлетворяющее… …   Википедия

  • Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) равные между собой правильные n угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) правильные треугольники. Октаэдр является антипризмой с треугольными основаниями. Икосаэдр …   Википедия

  • Перекатывание многогранников — Теория перекатывания многогранников (построена Виктором Матизеном в 1979 г.)  изучает сеть перекатывания выпуклого многогранника (СПМ)  множество следов его вершин, рёбер и граней при всевозможных перекатываниях по плоскости через… …   Википедия

  • Додекаэдр — Тип Правильный многогранник Грань Правильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 Вершин 20 …   Википедия

  • Тессеракт — Диаграмма Шлегеля для тессеракта. Изображена проекция (перспектива) четырёхмерного куба на трёхмерное пространство …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»