Симплекс

Симплекс

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Содержание

Определение

Симплекс есть выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости n-мерного Евклидова пространства. Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

  • Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс это подмножество \mathbb{R}^{n+1}, определяемое как:

\Delta^n=\{(t_0,\dots, t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}.

Его вершинами являются точки:

e0=(1, 0, …, 0),
e1=(0, 1, …, 0),
en=(0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин (v_0, v_1,\dots, v_n):

(t_0,\dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.

Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства

  • n-мерный симплекс имеет n+1 вершин, любые k+1 из которых образуют k-мерную грань.
    • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту \tbinom{n+1}{k+1}.
    • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно n+1.
  • Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:
    V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)
    • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
      V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}
где d_{ij}=|v_i - v_j| — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
  • Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен \frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}.
  • Радиус R описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
    (R{\cdot}V)^2=T,
где V-объем симплекса и
T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix}
0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\
 d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\
 d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\
\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots&  \\
 d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}

Построение

Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс
Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Через любые n точек можно провести (n–1)–плоскость и существуют множества из n+1 точек, через которые (n–1)–плоскость провести нельзя. Таким образом, n+1 — минимальное число точек в n–пространстве, которое не лежит в одной (n–1)–плоскости, и может служить вершинами n–многогранника.

Простейший n–многогранник с количеством вершин n+1 называется симплексом. Принято также название «n-мерный тетраэдр». В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют 4 фигуры:

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:

  1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;
  2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса;
  3. Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-симплексом, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n–1)-сфера Sn-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1)

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, hS) и радиусом R, причём


R^2=r^2+h_S^2.

Уравнение этой сферы


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2+(x_n-h_S)^2 = r^2+h_S^2

или


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2-x_n^2+2x_nh_S. \qquad (2)

Подставив в уравнение (2) xn = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом hS сфера Sn-1 является подмножеством сферы Sn, а именно – её сечением плоскостью xn = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (X1, X2, X3, ..., Xn ). Преобразуем уравнение (2) к виду


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2+2x_nh_S

и подставим в него координаты точки С:


X_1^2+X_2^2+X_3^2+ ... + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2+2X_nh_S.

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду


R_C^2 = r^2+2X_nh_S,

откуда можно выразить параметр hS:


h_S = \frac{R_C^2-r^2}{2X_n}.

Очевидно, что hS существует при любых RC, Xn и r, кроме Xn = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы Sn–1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере Sn c центром (0, 0, 0, ..., hS) будет лежать и сфера Sn–1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n–1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора n+1 вершин.

Обозначим символом К(L,n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса

K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},

где C^m_n – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n+1:

K(0,n) = K(n-1,n) = n+1.


Соотношения в правильном симплексе

В правильном n-мерном симплексе со стороной a пусть

  • H_n обозначает высоту,
  • V_n обозначает объём,
  • R_n обозначает радиус описанной сферы,
  • r_n обозначает радиус вписанной сферы.
  • \alpha_n обозначает двугранный угол,

Тогда

  • H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}
  • V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}=  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}
  • R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}
  • r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}
  • \cos \alpha = \frac{1}{n}
  • R_n = H_n \frac{n}{n-1}
  • a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2
  • V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n
  • r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}
Высота H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}} H_n = R_n \frac{n+1}{n} H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2} H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3} H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}
Объём V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}} V_n =  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4} V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12} V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}
Радиус описанной сферы R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}} R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3} R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4} R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}
Радиус вписанной сферы r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}} r_n = \frac{R_n}{n} r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6} r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12} r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}
Двугранный угол \cos \alpha = \frac{1}{n}

Литература

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

См. также

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Симплекс" в других словарях:

  • симплекс — симплексное соединение — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] симплекс Выпуклый многоугольник в n мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в… …   Справочник технического переводчика

  • симплекс — сущ., кол во синонимов: 1 • многогранник (38) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Симплекс — [simplex] выпуклый многоугольник в n мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости. Так что С. это простейший …   Экономико-математический словарь

  • Симплекс — * сімплекс * simplex автотетраплоид, в генотипе которого один аллель из четырех является доминантным: Аааа () …   Генетика. Энциклопедический словарь

  • СИМПЛЕКС — топологическое пространство | А|, точками к рого служат неотрицательные функции , определенные на конечном множестве Аи удовлетворяющие условию . Топология в | А| полагается индуцированной из пространства всех функций из Ав . Действительное число …   Математическая энциклопедия

  • СИМПЛЕКС — re мерный многогранник, являющийся выпуклой оболочкой n+1 точек (вершин С.), к рые не лежат в ( п 1) мерной плоскости. При n=0, 1, 2, 3 С. точка, отрезок, треугольник, тетраэдр. Грани С. суть С. меньшей размерности. Два С. одинаковой размерности… …   Математическая энциклопедия

  • симплекс — (лат. simplex простой) мат. простейший выпуклый многогранник данного числа измерений, напр треугольник на плоскости, тетраэдр в пространстве Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. симплекс а, м. ( …   Словарь иностранных слов русского языка

  • симплекс — simplex симплекс. Генотипический класс аутотетраплоидного организма, у которого данный диаллельный ген имеет конституцию Aaaa. (Источник: «Англо русский толковый словарь генетических терминов». Арефьев В.А., Лисовенко Л.А., Москва: Изд во ВНИРО,… …   Молекулярная биология и генетика. Толковый словарь.

  • симплекс — pakaitinis dvipusis ryšys statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. simplex vok. Wechselschreiben, n; Wechselsprechen, n rus. симплекс, m pranc. simplex, n ryšiai: sinonimas – simpleksinis ryšys …   Automatikos terminų žodynas

  • симплекс — simpleksas statusas T sritis augalininkystė apibrėžtis Autotetraploidas, kurio genotipe tik vienas geno alelis iš keturių yra vyraujantis. atitikmenys: angl. simplex rus. симплекс …   Žemės ūkio augalų selekcijos ir sėklininkystės terminų žodynas

Книги

Другие книги по запросу «Симплекс» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»