Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников  — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Формулировка

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство

$~\Beta - \Rho + \Gamma = 2$

История

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно 360º (Р — Г) и 360º (В — 2). Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере^[1].

См. также

• Формула Эйлера для связного плоского графа
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Эйлерова характеристика

Ссылки

• Теорема Эйлера и следствие из неё.

Примечания

1. ↑ Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967..