Правильный пятиугольник


Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Содержание

Свойства

Построение правильного пятиугольника
\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ
  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
S = \frac{5}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 = \frac{5}{12}Rd = \frac{5}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{5} = 5 r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{5},

где R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, dдиагональ, t — сторона.
  • Высота правильного пятиугольника:
h= \frac{\operatorname{tg}\,72^\circ}{2} t = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} t \approx 1,539 t
  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Сторона:
t =R \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}
  • Радиус вписанной окружности:
r = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{10} t
  • Радиус описанной окружности:
R = \frac{\sqrt 10 \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{10} t = ( \sqrt 5 - 1) r
  • Площадь:
S = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2
  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного
\frac{S}{s} = \varphi^4 = 3\varphi + 2 = \frac{3\sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854,
где \varphi — отношение золотого сечения.

Построение

Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Overhand knot of a paper strip

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1]

Интересные факты

Пентагон
  • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
  • Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.

См. также

Примечания


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Правильный пятиугольник" в других словарях:

  • Пятиугольник — Правильный пятиугольник (пентагон) Пятиугольник  многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внут …   Википедия

  • пятиугольник — ПЯТИУГОЛЬНИК1, а, м Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов. Корпус здания был выстроен пятиугольником. Профессор играючи начертил мелом на доске правильный… …   Толковый словарь русских существительных

  • Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник  это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения …   Википедия

  • Правильный семиугольник — Правильный семиугольник  это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание …   Википедия

  • Правильный шестиугольник — (гексагон)  это правильный многоугольник с шестью сторонами …   Википедия

  • Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник  это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны …   Википедия

  • Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль …   Википедия

  • Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… …   Википедия

  • Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание …   Википедия

  • Правильный восьмиугольник — (октагон)  геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Правильный пятиугольник» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.