Пустое множество


Пустое множество
Обозначение пустого множества

Пусто́е мно́жествоматематике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

\in-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Содержание

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: ~ \varnothing, ~ \emptyset и ~ \{\}.

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: ~ 0 и ~ \Lambda.

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205,).

Символы ~ \varnothing и ~ \emptyset введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ ~ \varnothing идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите[1].

Свойства пустого множества

  • Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, ~ \forall a \ (a \notin \varnothing) и, в частности, ~ \varnothing \notin \varnothing.
  • Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a) и, в частности, ~ \varnothing \subseteq \varnothing.
  • Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря,~ \forall a \ (\varnothing \cup a = a) и, в частности, ~ \varnothing \cup \varnothing = \varnothing.
  • Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing) и, в частности, ~ \varnothing \cap \varnothing = \varnothing.
  • Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (a \setminus \varnothing = a) и, в частности, ~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing.
  • Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing) и, в частности, ~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing.
  • Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a) и, в частности, ~ \varnothing \triangle \varnothing = \varnothing
  • Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing) и, в частности, ~ \varnothing \times \varnothing = \varnothing.
  • Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, ~ \mathrm{Trans}(\varnothing), где ~ \mathrm{Trans}(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing).
  • Пустое множество — ординал. Иначе говоря, ~ \mathrm{Ord}(\varnothing), где ~ \mathrm{Ord}(\varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{Trans}(\varnothing) \ \land \ \forall b \ (b \in \varnothing \to \mathrm{Trans}(b) \ ).
  • Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ~ |\varnothing| = 0.
  • Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ~ \mu(\varnothing) = 0

См. также

Ссылки

  1. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic  (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 28 сентября 2010.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Пустое множество" в других словарях:

  • ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО — Понятие теории множеств; пустое множество множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ? или 0. Понятие пустое множество (подобно понятию нуль ) возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также… …   Большой Энциклопедический словарь

  • пустое множество — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN empty set …   Справочник технического переводчика

  • пустое множество — понятие теории множеств; пустое множество  множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ø или 0. Понятие пустое множество (подобно понятию «нуль») возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также… …   Энциклопедический словарь

  • пустое множество — tuščioji aibė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. empty set vok. Leerensemble, n rus. пустое множество, n pranc. ensemble vide, m …   Automatikos terminų žodynas

  • ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО — множество, не содержащее элементов. Обозначения: , Л. Иначе, ={х: х х}, при этом вместо х х в этом определении можно было бы использовать любое всегда ложное утверждение. П. м. является подмножеством любого множества. М. И. Войцеховский …   Математическая энциклопедия

  • Пустое множество — (математическое)         «множество», не содержащее ни одного элемента. Понятие «П. м.» (подобно понятию «нуль»; возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством (см. Множеств теория). Источником… …   Большая советская энциклопедия

  • ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО — понятие теории множеств; П. м. множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается 0. Понятие П. м. (подобно понятию нуль ) возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных). Множество  одно из ключевых понятий математики, в частности, теории… …   Википедия

  • Множество (тип данных) — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… …   Википедия

  • Множество (математика) — Множество  один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном… …   Википедия

Книги

  • Психотерапия, фон Франц Мария-Луиза. Психотерапия&# 187;— это третий том в серии сборников статей Марии-Луизы фон Франц, который был выпущен в честь семьдесят пятого дня рождения автора. Праздник в честь этого события состоялся… Подробнее  Купить за 1062 руб
  • Пустое множество, Лачин Марк. В этом необычном повествовании широкими яркими мазками автор кладет цвета на пестрое полотнище мира: из пыльных монгольских степей авторского детства мы перенесемся к Бранденбургским воротам,… Подробнее  Купить за 901 грн (только Украина)
  • Пустое множество, Лачин Марк. В этом необычном повествовании широкими яркими мазками автор кладет цвета на пестрое полотнище мира: из пыльных монгольских степей авторского детства мы перенесемся к Бранденбургским воротам,… Подробнее  Купить за 870 руб
Другие книги по запросу «Пустое множество» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.