Автоморфизм

Автоморфизм модели — изоморфизм, отображающий модель на себя.

Совокупность всех автоморфизмов некоторой модели с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу.

Группа автоморфизмов модели $K$ обозначается $\operatorname{Aut}K$.

• Автоморфизм множества есть перестановка элементов этого множества
• Автоморфизм группы — изоморфизм группы на себя.

Автоморфизм называется внутренним, если существует такой элемент $a$, что $Auth(G)_a(x)=axa^{-1}$, а в противном случае внешним. Множество всех внутренних автоморфизмов группы G есть подгруппа группы всех автоморфизмов, причем $Auth(G)_a*Auth(G)_b=Auth(G)_{ab}$.^[1]

Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли.^[2]

Автоморфизмы групп

Группа автоморфизмов группы $G$ обозначается $\operatorname{Aut}G$. Отображение $\alpha_g(x)=gxg^{-1}$ автоморфизм группы, такие автоморфизмы группы называются внутренними, множество внутренних автоморфизмов обозначается $\operatorname{Int}G$. Поскольку $\alpha_g\alpha_h=\alpha_{hg}$ и $\alpha_g\alpha_h\alpha_g^{-1}=\alpha_{g^{-1}hg}\in\operatorname{Int}G$, то $\operatorname{Int}G$ - нормальная подгруппа в $\operatorname{Aut}G$. Фактор-группа $\operatorname{Out}G=\operatorname{Aut}G/\operatorname{Int}G$ называется группой внешних автоморфизмов группы, а её элементы - внешними автоморфизмами. Отображение $g\to\alpha_h$ определяет гомоморфизм $G\to\operatorname{Int}G$, ядро которого есть центр группы $Z(G)$, так что $\operatorname{Int}G\cong G/Z(G)$. Все нормальные подгруппы инвариантны под действием внутренних автоморфизмов. Подгруппы, инвариантные под действием всех автоморфизмов группы, называются характеристическими.

Всякая группа, совпадающая со своей группой автоморфизмов, называется совершенной. Совершенными являются все симметрические группы $S_n$ при $n\neq 2;6$. Расширение группы, с помощью группы автоморфизмов, называется голоморфом.

Примеры

• $\operatorname{Aut}\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}_2$
• $\operatorname{Aut}\mathbb{Q}^+ = \mathbb{Q}^{\times}$
• $\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_n^+ = \mathbb{Z}_{\varphi(n)}$
• $\operatorname{Aut}\mathbb{Z}_p^{\times} = \mathbb{Z}^+_{\varphi(p-1)}$
• $\operatorname{Aut}S_n = S_n, n\neq 2;6$, * $\operatorname{Out}S_6 = \mathbb{Z}_2$
• $\operatorname{char}K>2\Rightarrow\operatorname{Aut}\operatorname{GL}_n(K) = \operatorname{SL}_n(K), K$ - поле характеристики большей 2.
• Группа автоморфизмов множества всех комплексных корней степеней * $p^n$ из единицы есть группа p-адических чисел по сложению.
• Группа внешних автоморфизмов свободной группы конечного ранга порождается преобразованиями Нильсена элементов базиса

Автоморфизмы колец

Автоморфизмы полей

Автоморфизмы графов

Наименьшее асимметрическое дерево

Наименьший асимметрический граф

Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность.^[3] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной:

Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины, и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.^[4]

Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.

Для любой конечной группы найдется такой конечный неориентированный граф, что его группа автоморфизмов изоморфна данной.^[5] Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли.^[6][7]

Примечания

1. ↑ Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 21
2. ↑ Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 121
3. ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 190
4. ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 192
5. ↑ А. И. Белоусов Дискретная математика. — 4-е изд. — МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2006. — С. 349. — 744 с.
6. ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 198—201
7. ↑ О. Оре Теория графов стр. 317

См. также

• АТ-группа

Литература

• Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.
• Оре, Ойстин Теория графов. — М.: УРСС, — 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
• Харари, Фрэнк Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.