Дизъюнктное объединение

Неформально говоря, дизъюнктное объединение — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая каждый элемент снабжает индексом множества, из которого этот элемент вошёл в объединение.

Определение

Пусть $\{A_i | i \in I\}$ — семейство множеств, перечисленных индексами из $I$. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

$\coprod_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) | x \in A_i\}$

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами $(x, i)$. Таким образом $i$ есть индекс, показывающий, из какого множества $A_i$ элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств $A_i$ канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

$A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.$

При $\forall i, j \in I: i \neq j$ множества $A_i^*$ и $A_j^*$ не имеют общих элементов, даже если $A_i \cap A_j \neq \varnothing$. В вырожденном случае, когда множества $A_i \forall i \in I$ равны какому-то конкретному $A$, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества $A$ и множества $I$, то есть

$\coprod_{i\in I}A_i = A \times I.$

Использование

Иногда можно встретить обозначение $A + B$ для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

$\sum_{i\in I}A_i.$

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если $C$ — это семейство множеств, то

$\bigcup_{A \in C} A$

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых $A$ и $B$ из $C$ выполняется следующее условие:

$A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.$

Литература

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
• Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266

См. также

• Теория множеств
• Теория категорий
• Декартово произведение
• Мощность множества