Произведение (теория категорий)

Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Содержание

Определение

Пусть C — категория, \{X_i|i\in I\} — индексированное семейство её (не обязательно различных) объектов. Произведение семейства \{X_i|i\in I\} — это такой объект X, обозначаемый обычно \prod_{i\in I} X_i и обладающий каноническими проекциями \pi_i\colon\, X \to X_i, что для любого объекта Y\in C и семейства морфизмов f_i\colon\, Y \to X_i существует единственный морфизм f\colon\, Y\to X, для которого следующая диаграмма коммутативна

Universal product of the product

то есть \pi_i \circ f = f_i. Произведение двух объектов обычно обозначают X_1 \times X_2, при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм f при этом иногда обозначается \lang f_1,f_2 \rang.

Единственность результата операции \lang -,- \rang можно альтернативно выразить как равенство \lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h, верное для любых h. [1]

Существует эквивалентное определение произведения. Произведение семейства \{X_i|i\in I\} — это такой объект X, что для любого объекта Y\in C функция Hom(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} Hom(Y,X_i), заданная как u \mapsto \{\pi_i \circ u\}, биективна. [2]

Примеры

  • В категории Set (категории множеств) категорное произведение совпадает с декартовым.
  • В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
  • В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
  • Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, причём морфизм из a в b существует тогда и только тогда (по определению), когда a \geqslant b. При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

Свойства

  • Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
  • Коммутативность: a \times b \simeq b \times a.
  • Ассоциативность: (a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c)
  • Если в категории существует терминальный объект \ 1, то a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.
  • Категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричным моноидом.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z), где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Product-Coproduct Distributivity.png

Свойство универсальности для X\times(Y+Z) гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

порождает множество морфизмов

f_{ij} \colon a_i \to b_j

задаваемых по правилу f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования f_{ij} \colon a_i \to b_j задаёт единственный соответствующий морфизм \scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j. Если в категории существует нулевой объект 0, для которого для любого объекта x существует единственный морфизм d_x\colon x \to 0 и единственный морфизм c_x\colon 0\to x, то матрица преобразования f_{ij} \colon a_i \to a_j, задаваемая по правилу

f_{ij} = \left\{
\begin{matrix}
c_{j} \circ d_{i},~ i\ne j \\ id_i,~ i=j
\end{matrix} \right.

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств \mathcal{V}ect_f копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное понимание матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных. При этом матрица преобразования всего пространства задаётся через указание образов соответствующих базисных векторов и продолжение преобразования на всё пространство по линейности единственным образом.

См. также

Примечания

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
  2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: «Мир», 1972.

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужна помощь с курсовой?

Полезное


Смотреть что такое "Произведение (теория категорий)" в других словарях:

  • Теория категорий — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла… …   Википедия

  • Предел (теория категорий) — У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. В теории категорий предел диаграммы  это конструкция, обобщающая многие универсальные диаграммы самой теории категорий. Примеры Уравнитель Произведение Коуниверсальный квадрат… …   Википедия

  • Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… …   Википедия

  • Теория множеств — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… …   Википедия

  • ИГР ТЕОРИЯ — теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов. Формальное определение игры. Под конфликтом понимают явление, применительно к к рому можно говорить, кто и как в этом явлении участвует, какие у него могут быть… …   Математическая энциклопедия

  • Прямое произведение — Прямое или декартово произведение  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… …   Википедия

  • МУЗЫКИ ТЕОРИЯ — наука, формулирующая правила и принципы, лежащие в основе сочинения музыки. Теория музыки имеет дело с анализом музыкального произведения, со строительными блоками музыки и закономерностями работы с ними. Теория музыки понимается и как предмет… …   Энциклопедия Кольера

  • Классическая экономическая теория — Содержание 1 Понятие 2 История развития …   Википедия

  • Копроизведение — (категорная сумма) семейства объектов  обобщение в теории категорий для понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов  это… …   Википедия

  • Категория (математика) — Теория категорий  раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»