Биекция


Биекция
Биективная функция.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).

Содержание

Определение

Функция f:X\to Y называется биекцией (и обозначается f:X\leftrightarrow Y), если она:

  1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
    • \forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\;(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2).
  2. Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
    • \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y.


Примеры

Свойства

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
  • Функция f:X\to Y является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция f^{-1}:Y\to X такая, что
\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x и \forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.
  • Если функции f и g биективны, то и композиция функций g\circ f биективна, в этом случае (g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если g\circ f биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.

Применения

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

Примечания

См. также


Литература

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.  Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Биекция" в других словарях:

  • биекция — взаимно однозначное соответствие — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия Синонимы взаимно однозначное соответствие EN one to one onto function …   Справочник технического переводчика

  • БИЕКЦИЯ — биективное отображение, множества Ав множество В отображение , при к ром различные элементы из Аимеют различные образы и . Другими словами, взаимно однозначное отображение Ана В, или отображение, являющееся одновременно иньекцией и сюръекцией. Б …   Математическая энциклопедия

  • биекция (в криптографии) — биекция Взаимно однозначное отображение. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN bijection …   Справочник технического переводчика

  • Изоморфизм — У этого термина существуют и другие значения, см. Изоморфизм (значения). Изоморфизм (от др. греч. ἴσος «равный, одинаковый, подобный» и μορφή «форма»)  это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих… …   Википедия

  • Изоморфизм (математика) — Изоморфизм  это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: Пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между… …   Википедия

  • Изоморфизм (матем.) — Изоморфизм  это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: Пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между… …   Википедия

  • Граф (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Граф (значения). Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф  это совокупность непустого множества вершин и множества пар… …   Википедия

  • Парадокс Сколема — представляет собой рассуждение, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма Сколема для аксиоматической теории множеств. В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали Форти, где при помощи логически верных выводов… …   Википедия

  • Изоморфизм графов — В теории графов изоморфизмом графов и называется биекция между множествами вершин графов такая, что любые две вершины и графа смежны, тогда и только тогда, когда вершины …   Википедия

  • Парадокс Скулема — представляет собой рассуждение, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма  Скулема для аксиоматической теории множеств. В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали Форти, где при помощи логически верных выводов… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.