Моноид

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.

Таким образом, моноидом называется множество $M$, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент $e$, что $ex=x=xe$ для любого $x\in M$. Элемент $e$ называется единицей и часто обозначается $1$. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Примеры

• Множество всех отображений произвольного множества $S$ в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.
• Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры $A$ является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.
• Всякая группа является моноидом.

Свойства

• Всякую полугруппу $P$ без единицы можно вложить в моноид.
• Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.
• Произвольный моноид можно рассматривать также как категорию с одним объектом.
• Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как $a^0=e, \forall a$^[1].

Примечания

1. ↑ Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени $a^{m+n}=a^m a^n, (a^m)^n=a^{mn}$ остаются справедливыми для $\mathbb N\cup\{0\}$

См. также

• Алгебраическая система
• Моноидальная категория

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011.