Группа (математика)

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.

Гру́ппа  — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Определения

Непустое множество $G$ с заданной на нём бинарной операцией $\,*\,\colon G \times G \to G$ называется группой $(G,*)$, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: $\forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c)$;
2. наличие нейтрального элемента: $\exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a)$;
3. наличие обратного элемента: $\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Комментарии

• Элемент $a^{-1}$, обратный элементу $a$, единственен.
• В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

$\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G): (a*x=b)\and (y*a=b).$

• Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального ($e_l*a=a\,$) и левого обратного ($a_l^{-1}*a=e_l$) элементов. При этом они автоматически являются $e$ и $a^{-1}$:

$a_l^{-1}*a*a_l^{-1}=e_l*a_l^{-1}=a_l^{-1} \Rightarrow e_l*a*a_l^{-1}=e_l \Rightarrow a*a_l^{-1}=e_l$

$a*e_l=a*a_l^{-1}*a=e_l*a=a\,$

Связанные определения

Основная статья: Словарь терминов теории групп

• В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
  • Пары элементов $a,\;b$, для которых выполнено равенство $a*b = b*a$, называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
• Подгруппа — подмножество $H$ группы $G$, которое является группой относительно операции, определённой в $G$.
• Порядок группы $(G,*)$ — мощность $G$ (то есть число её элементов).
  • Если множество $G$ конечно, то группа называется конечной.

Примеры

• Целые числа с операцией сложения. $(\Z,+)$ группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.

• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

• Свободная группа с двумя образующими ($F_2$) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем $\varepsilon$ (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов $a, a^{-1}, b$ и $b^{-1}$ таких, что $a$ не появляется рядом с $a^{-1}$ и $b$ не появляется рядом с $b^{-1}$. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар $aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1}$ и $b^{-1}b$.

• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

• Циклические группы состоят из степеней $\langle a\rangle = \{a^n \,| \,n \in \mathbb{Z}\}$ одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

• результат операции называют произведением и записывают $a*b$ или $ab$;
• нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
• обратный к a элемент записывается как $a^{-1}$.

Кратные произведения $aa, aaa,\dots$ записывают в виде натуральных степеней $a^2, a^3,\dots$^[1]. Для элемента $a$ корректно^[2] определена целая степень, следующим образом:

$a^0=e$,

$a^{-n}=(a^{-1})^n$.

Для степени элемента справедливо $a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb Z$. В частности, $e^n=e, \forall n\in\mathbb Z$.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
• обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
• обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
• запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
• выражения вида a + a, a + a + a, -a — a, … обозначают символами 2a, 3a, −2a, …

Простейшие свойства

• Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
• (a⁻¹)⁻¹ = a, a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.
• (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.
• Верны законы сокращения:

$c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b$,

$a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b$.

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
• Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
• Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
• Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g₁ любой её подгруппы G₁ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
• Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

• С помощью порождающих и соотношений.
• Факторгруппой G/H, где G — некоторая группа и H — её нормальная подгруппа. В частности, каждая группа является факторгруппой свободной группы порождающего множества этой группы по подгруппе соотношений группы.
• Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
  • Прямым произведением двух групп (G,·) и (H,•), то есть множеством G×H пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).
• Свободным произведением двух групп $G$ и $H$ есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих $G$ и $H$, a система соотношений есть объединение систем соотношений $G$ и $H$. Например, модулярная группа является свободным произведением $\Z_2$ и $\Z_3$.

История

Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле.

Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.

Обобщения

• Группоид — магма.
• Полугруппа
• Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
• Квазигруппа

См. также

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

Примечания

1. ↑ Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
2. ↑ Корректность вытекает из единственности обратного элемента.

Литература

Популярная литература

• Александров П. С. Введение в теорию групп. — Т. 7. — («Библиотечка Квант»).
• Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант. — 1976. — № 10.

Научная литература

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.