Векторное пространство

Векторное пространство

Ве́кторное (лине́йное) простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Содержание

Определение

Линейное, или векторное пространство L \left( P \right)  над полем  P  — это непустое множество  L, на котором введены операции

  1. сложения, то есть каждой паре элементов множества \mathbf{x}, \mathbf{y} \in L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый  \mathbf{x} + \mathbf{y}  \in L и
  2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу \lambda \in P и любому элементу \mathbf{x} \in L ставится в соответствие единственный элемент из L \left( P \right)  , обозначаемый   \lambda\mathbf{x}\in L(P) .

При этом на операции накладываются следующие условия:

  1. \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}\in L (коммутативность сложения);
  2. \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент \theta \in L, что \mathbf{x} + \theta = \mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
  4. для любого \mathbf{x} \in L существует такой элемент -\mathbf{x} \in L, что \mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta (существование противоположного элемента относительно сложения).
  5. \alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x} (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x} (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
  7. (\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x} (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. \alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

  1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
  2. Нейтральный элемент \theta \in L является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  3.  0\cdot\mathbf{x} = \theta для любого \mathbf{x} \in L.
  4. Для любого \mathbf{x} \in L противоположный элемент -\mathbf{x} \in L является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  5. (-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L.
  6. (-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x}) для любых \alpha \in P и \mathbf{x} \in L.
  7.  \alpha\cdot\theta  = \theta для любого \alpha \in P.

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

  1. \theta\in K;
  2. для всякого вектора \mathbf{x}\in K, вектор \alpha\mathbf{x} также принадлежал K, при любом \alpha\in P;
  3. для всяких векторов \mathbf{x}, \mathbf{y} \in K, вектор \mathbf{x}+\mathbf{y} также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов \mathbf{x}, \mathbf{y} \in K, вектор \alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y} также принадлежал K для любых \alpha, \beta \in P.

В частности, пространство, состоящее из одного элемента \{\theta\}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств

  • Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
  • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств \{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\} определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов K_i:

\sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Базис. Размерность

  • Конечная сумма вида
\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n

называется линейной комбинацией элементов \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L с коэффициентами \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • Элементы \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу \theta. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
  • Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
  • Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
    • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
    • Любой вектор \mathbf{x} \in L можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n.

Линейная оболочка

Линейная оболочка \mathcal L(X) подмножества X линейного пространства L — пересечение всех подпространств L, содержащих X.

Линейная оболочка является подпространством L.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Говорят также, что линейная оболочка \mathcal L(X) натянута на множество X.

Линейная оболочка \mathcal L(X) состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X — конечное множество, то \mathcal L(X) состоит из всех линейных комбинаций элементов X.

Если X — линейно независимое множество, то оно является базисом \mathcal L(X) и тем самым определяет его размерность.

Примеры

  • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
  • Пространство всех функций X\to P с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.
  • поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
  • Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

См. также

Литература

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Векторное пространство" в других словарях:

  • векторное пространство — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=5045] векторное пространство линейное пространство Множество векторов с одинаковым числом компонент, важнейшее для математической экономики понятие. Компонентами векторов… …   Справочник технического переводчика

  • векторное пространство — vektorių erdvė statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. vector space vok. Vektorraum, m rus. векторное пространство, n; пространство векторов, n pranc. espace vectoriel, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • векторное пространство — математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства на случай произвольного числа измерений. * * * ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности… …   Энциклопедический словарь

  • векторное пространство — vektorinė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector space vok. Vektorraum, m rus. векторное пространство, n pranc. espace vectoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Векторное пространство —         математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторов обычного трёхмерного пространства.          Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на… …   Большая советская энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — линейное пространство, над полем К, аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение удовлетворяющее следующим аксиомам Из аксиом 1) 4) вытекают следующие важные свойства векторного… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства на случай произвольного числа измерений …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — (линейное про странство) (матем.), обобщающее понятие совокупности всех векторов 3 мерного пространства …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — над топологическим полем (т. п.), К векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. е. удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображение непрерывно; 2) отображение непрерывно (при… …   Математическая энциклопедия

  • Нормированное векторное пространство — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В нашем пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие: Длина… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Векторное пространство» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»