Распределение Лапласа

Распределение Лапласа

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	$\textstyle\alpha>0$ - коэффициент масштаба $\beta\in\mathbb{R}$ - Коэффициент сдвига
Носитель	$x \in (-\infty; \infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha|x-\beta|}$
Функция распределения	$\begin{cases}\frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x\le\beta \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x>\beta \end{cases}$
Математическое ожидание	$\beta\,$
Медиана	$\beta\,$
Мода	$\beta\,$
Дисперсия	$\frac{2}{\alpha^{2}}\,$
Коэффициент асимметрии	$0\,$
Коэффициент эксцесса	$3\,$
Информационная энтропия	$\ln\left(\frac{2\,e}{\alpha}\right)\!$
Производящая функция моментов	?
Характеристическая функция	$\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}$

Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

$f(x)=\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha|x-\beta|}$, $-\infty<x<+\infty$,

где $\alpha>0$ — параметр масштаба, $-\infty<\beta<+\infty$ — параметр сдвига.

Функция распределения

По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

$F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)dt=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\alpha|t-\beta|}dt$

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: $x\le\beta$ и $\textstyle x>\beta$

$F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x\le\beta \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x>\beta \end{cases}$

Проверка свойств полученной функции:

1. $\textstyle F(x)$ не убывает, так как $\textstyle f(x)$ положительна.
2. $\textstyle F(\beta-0)=F(\beta+0)=\frac{1}{2}$, следовательно, $\textstyle F(x)$ непрерывна в точке $\textstyle \beta$
3. $\textstyle F(x)$ ограничена.
4. Пределы на бесконечностях:

$\lim_{x\to-\infty}F(x)=\frac{1}{2}\lim_{x\to-\infty}e^{\alpha(x-\beta)}=0$

$\lim_{x\to+\infty}F(x)=1-\frac{1}{2}\lim_{x\to+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}=1$

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал $(-\infty,+\infty)$ необходимо разбить на $(-\infty,\beta)$ и $[\beta,+\infty)$. Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей ($\pm\infty$) рассматриваются пределы вида $\lim_{x\to\pm\infty}r(x)$.

$\operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta$

$\operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}}{2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}$

$\operatorname{D}\xi=\operatorname{E}\xi^{2}-(\operatorname{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}}$

Моменты

$\operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx$

Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

$\int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}-$$\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{\alpha(x-\beta)}+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)}$

$\int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}-$$\ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)}$

После подстановок пределов интегрирования:

$\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}-$ $\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}$

$\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}$

Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

$\operatorname{E}\xi^{k}= \begin{cases} \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k}}, & k=2n \\ \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1 \end{cases}$

Или, в общем виде:

$\operatorname{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}$, где $\left\lfloor x\right\rfloor$ — целая часть x.

Характеристическая функция

$\phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx$

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера $\textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x$ и классический пример нахождения интегралов вида $\int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx$ и $\int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx$ (см. Интегрирование по частям:Примеры):

$\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}(\cos tx + i\sin tx)e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{-\infty}^{\beta}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}+i\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}=$ $=\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}+t(i\cos t \beta-\sin t \beta)\Big)$

$\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}(\cos tx + i\sin tx)e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{\beta}^{+\infty}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}+i\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}=$ $\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)$

Окончательно характеристическая функция есть:

$\phi(t)=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(ae^{it\beta}+t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}$

$\phi(t)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}$

См.также

• Экспоненциальное разбиение

	п·Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma	многомерное нормальное | копула