Мультиномиальное распределение

Мультиномиальное распределение

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай независимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами.

Определение

Пусть X_1,\ldots, X_n — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности:

\mathbb{P}(X_i = j) = p_j,\; j=1,\ldots, k.

Интуитивно событие \{X_i = j\} означает, что испытание с номером i привело к исходу j. Пусть случайная величина Y_j равна количеству испытаний, приведших к исходу j:

Y_j = \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i = j\}},\; j = 1,\ldots, k.

Тогда распределение вектора \mathbf{Y} = (Y_1,\ldots,Y_k)^{\top} имеет функцию вероятности

p_{\mathbf{Y}}(\mathbf{y}) = \left\{
\begin{matrix}
{n \choose {y_1 \ldots y_k}} p_1^{y_1}\ldots p_k^{y_k}, & \sum\limits_{j=1}^k y_j = n \\
0, & \sum\limits_{j=1}^k y_j \not= n 
\end{matrix}
\right., \quad \mathbf{y} = (y_1,\ldots, y_k)^{\top} \in \mathbb{N}^k_1,

где

{n \choose {y_1 \ldots y_k}} \equiv \frac{n!}{y_1! \ldots y_k!} — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины Y_j имеет вид: \mathbb{E}[Y_j] = np_j. Диагональные элементы матрицы ковариации \Sigma = (\sigma_{ij}) являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

\sigma_{jj}=\mathrm{D}[Y_j] = np_j(1-p_j),\; j =1,\ldots, k.

Для остальных элементов имеем

\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(Y_i,Y_j) = -np_ip_j,\; i \not= j.

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен k-1.

Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мультиномиальное распределение" в других словарях:

  • мультиномиальное распределение — Распределение вероятностей k дискретных случайных величин X1, X2,...Xk, такое, что где x1,x2,…,xk – целые числа, такие, что x1 x2 ... xk =n, а параметры pi0 (i=1,2,…,k) удовлетворяют соотношению . Примечание. При k=2 мультиномиальное… …   Словарь социологической статистики

  • распределение — 3.38 распределение (allocation): Процедура, применяемая при проектировании системы (объекта) и направленная на распределение требований к значениям характеристик объекта по компонентам и подсистемам в соответствии с установленным критерием.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Распределение Дирихле — В теории вероятностей и математической статистике распределение Дирихле (по имени Иогaнна Пeтера Гyстава Лежён Дирихлe) часто обозначаемое Dir(α) это семейство непрерывных многомерных вероятностных распределений параметризованных вектором α… …   Википедия

  • Распределение многомерной случайной величины — 1.25. Распределение многомерной случайной величины Р (X1= x1,…, Хn= xn) Р (a1< X1< b1, ..., an< Хn< bn) Источник: ГОСТ 15895 77: Статистически …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МУЛЬТИНОМИАЛЬНОЕ (ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ) — совместное распределение r групповых частот ν1, ν2, . . ., νr наступления несовместимых событий E1, E2, . . ., Er с соответствующими вероятностями p1, p2.....pr в ряду из n повторений эксперимента, где …   Геологическая энциклопедия

  • Распределение вероятностей — Распределение вероятностей  это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений …   Википедия

  • Распределение хи-квадрат — Распределение . Распределение Пирсона Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Пуассона — Функция вероятности …   Википедия

  • Распределение Коши — Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Парето — Плотность вероятности …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»