Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

для определённого:

\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Предполагается, что нахождение интеграла \int v\, du проще, чем \int u\, dv\,. В противном случае применение метода неоправдано.

Содержание

Получение формул

Для неопределённого интеграла

Функции \textstyle\mathit{u} и \textstyle\mathit{v} гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

d(u\,v) = v\,du+u\,dv

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

\int d(u\,v) = \int v\,du+\int u\,dv

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

u\,v = \int v\,du+\int u\,dv

После перестановок:

\int u\,dv = u\,v-\int v\,du

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}

Отсюда «следствие»: 0=1, что очевидно неверно.

для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

d(u\,v)=v\,du+u\,dv
\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b v\,du+\int\limits_a^b u\,dv
\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Примеры

  • \int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C
  • \int e^x\,x\,dx=\int x\,(e^x\,dx)=\int x\,de^x=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C
  • Иногда этот метод применяется несколько раз:
\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=
=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
  • Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C
  • В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2
I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
Таким образом один интеграл выражается через другой:
\begin{cases}
     I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\
     I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
\end{cases}
Решив полученную систему, получаем:
I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C
I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C

См. также

Литература

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Интегрирование по частям" в других словарях:

  • ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ — один из способов вычисления интеграла, состоящий в представлении интеграла от выражения вида u(x)dv(x)через интеграл от v(x)du{x). Для определенного интеграла формула И. по ч. имеет вид и справедлива в предположении, что функции и(х)и v(x)и их… …   Математическая энциклопедия

  • Интегрирование рациональных дробей — Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций  дело значительно более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Иногда выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Содержание 1… …   Википедия

  • Методы интегрирования — Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций  дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Содержание 1… …   Википедия

  • Вариационное исчисление — Вариационное исчисление  это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… …   Википедия

  • Теорема о равнораспределении — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… …   Википедия

  • Закон равнораспределения — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… …   Википедия

  • Эквипарциальная теорема — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… …   Википедия

  • Стохастическое исчисление Ито — Исчисление Ито  математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в… …   Википедия

  • Интегральное исчисление — в сочинении Архимеда Об измерении длины окружности рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в трактате О шаре и цилиндре о поверхностях и объемах тел, ограниченных кривыми поверхностями; эти вопросы представляют… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОД — метод квантования физ. систем, альтернативный волновой меха нике Шрёдингера и операторному методу Гeйзенберга (см. Квантовая механика). В основе этого метода, предложенного в 40 х гг. Р. Фейнманом (R. Feynmann), лежит предположение о том, что… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»