Предел функции

Предел функции
x \frac{\sin x}{x}
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1.

Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к нулю, равен 1.

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Содержание

Определения

Рассмотрим функцию f \left( x \right), определённую на некотором множестве ~X, которое имеет предельную точку ~x_0 (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любой последовательности точек \left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}, сходящейся к ~x_0, но не содержащей ~x_0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ~x_0 ), последовательность значений функции \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty} сходится к ~A.[1]

\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A

Предел функции по Коши

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любого наперёд взятого положительного числа \varepsilon найдётся отвечающее ему положительное число \delta = \delta \left( \varepsilon \right) такое, что для всех аргументов ~x, удовлетворяющих условию 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta, выполняется неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.[1]

\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

Окрестностное определение по Коши

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любой окрестности O \left( A \right) точки ~A существует выколотая окрестность \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) точки ~x_0 такая, что образ этой окрестности f \left( \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \right) лежит в O \left( A \right). Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall O \left( A \right) ~ \exists \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \colon f \left( \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \right) \subset O \left( A \right)

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть \mathcal{B} — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

  • число A называется пределом функции по (при) базе \mathcal{B}, если для всякого \varepsilon>0 найдётся такой элемент B базы, что для любого x\in B выполнено |f(x)-A|<\varepsilon.

Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение «x\to a, x\in E» и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с \mathbb{R}, то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «x\to a» и читается «при x, стремящемся к a».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

  • E_{a}^{-}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{-}, где \mathbb{R}_{a}^{-}=\{x\in\mathbb{R}\colon x<a\};
  • E_{a}^{+}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{+}, где \mathbb{R}_{a}^{+}=\{x\in\mathbb{R}\colon x>a\}.

Соответственно этому вводятся две базы:

  • «x\to a, x\in E_{a}^{-}», которая коротко обозначается в виде «x\to a-, x\in E» или ещё проще «x\to a-»;
  • «x\to a, x\in E_{a}^{+}», которая коротко обозначается в виде «x\to a+, x\in E» или ещё проще «x\to a+».


Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне

  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного ~\delta в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка \left[ -\delta, +\delta \right]. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k > 0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k < 0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A

Предел на бесконечности по Коши

  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного ~\delta в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка \left[ -\delta, +\delta \right]. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на бесконечности, если для произвольного положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек, превышающих ~\delta по абсолютному значению, справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon \left| x \right| > \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек, лежащих правее ~\delta, справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon x > \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек, лежащих левее ~\left( -\delta \right), справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon x < -\delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция ~f \left( x \right) определена на множестве ~X, имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки ~A.

\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall O \left( A \right) ~ \exists O \left( 0 \right) \colon f \left( X \setminus O \left( 0 \right) \right) \subset O \left( A \right)

Обозначения

Если в точке ~x_0 у функции ~f \left( x \right) существует предел, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к ~x_0, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to x_0]{} A.

Если у функции ~f \left( x \right) существует предел на бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to \infty]{} A.

Если у функции ~f \left( x \right) существует предел на плюс бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to +\infty]{} A.

Если у функции ~f \left( x \right) существует предел на минус бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to -\infty]{} A.

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции f,g:M\subset \R \to \R, и a \in M'..

  • Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
    \left( \lim_{x \to a} f \left( x \right) = A_1 \right) \land \left( \lim_{x \to a} f \left( x \right) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2)
  • Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),
где \dot{U}_{\epsilon}(a) — проколотая окрестность точки a.
  • В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);
  • Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);
  • Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
    \exists \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \ne 0\Rightarrow \exists \delta >0:\ \forall x \in \dot{U}_{\delta}(a) \quad |f(x)|\ge \frac{A}{2}
  • Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
    \left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge  \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);
  • Предел суммы равен сумме пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);
  • Предел разности равен разности пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);
  • Предел произведения равен произведению пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);
  • Предел частного равен частному пределов.
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).

Примеры

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература

  • Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ. — М..

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Предел функции" в других словарях:

  • Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела. Содержание 1 Определение фильтра 2 Определение предела …   Википедия

  • Предел числовой последовательности — Предел числовой последовательности  предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство  это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, предел …   Википедия

  • Предел — объект, представляющий собой воображаемую или реальную границу для другого объекта. В математическом анализе см. Предел (математика), а также: Предел последовательности Предел функции Предел категории Частичный предел Проективный предел Банаховы… …   Википедия

  • ПРЕДЕЛ — одно из основных понятий математики, означающее, что какая то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек рому постоянному значению. Основным при определении П. является… …   Математическая энциклопедия

  • Предел слева — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Предел справа — Односторонний предел в математическом анализе предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом… …   Википедия

  • Предел —         одно из основных понятий математики. П. постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой …   Большая советская энциклопедия

  • Предел (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. Предел одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине… …   Википедия

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • ПРЕДЕЛ — последовательности действительных чисел a1 a2, ..., an, ..., число a, обладающее тем свойством, что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от a как угодно мало (запись:). Напр., предел последовательностиНе всякая… …   Большой Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»