Биномиальное распределение

Биномиальное распределение
Биномиальное распределение
Функция вероятности
Probability mass function for the binomial distribution
Функция распределения
Обозначение B(n,p)\,
Параметры n \geqslant 0 — число «испытаний»
0\leqslant p \leqslant 1 — вероятность «успеха»
Носитель k \in \{0,\dots,n\}\!
Функция вероятности \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k} \!
Функция распределения I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Математическое ожидание np\!
Медиана одно из \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
Мода \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Дисперсия npq\!
Коэффициент асимметрии \frac{q-p}{\sqrt{npq}}\!
Коэффициент эксцесса \frac{1-6pq}{npq}\!
Информационная энтропия  \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Производящая функция моментов (q + pe^t)^n \!
Характеристическая функция (q + pe^{it})^n \!


Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n\! независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p\!.

Содержание

Определение

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину Y\!:

Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

Тогда Y\!, число единиц (успехов) в последовательности X_1,\ldots, X_n, имеет биномиальное распределение с n\! степенями свободы и вероятностью «успеха» p\!. Пишем: Y \sim \mathrm{Bin}(n,p). Её функция вероятности задаётся формулой:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,

где \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \, k!} — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R},

где \lfloor y \rfloor обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y ) = I_{1-p}(n-\lfloor y \rfloor,\lfloor y \rfloor +1).

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n,

откуда

\mathbb{E}[Y] = np,
\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np ),

а дисперсия случайной величины.

\mathbb{D}[Y] = npq.

Свойства биномиального распределения

  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p) и ~Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p). Тогда p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k).
  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p). Тогда Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p).

Связь с другими распределениями

См. также

Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

  • БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (binomial distribution) Распределение, позволяющее рассчитать вероятность наступления какого либо случайного события, полученного в результате наблюдений ряда независимых событий, если вероятность наступления, составляющих его элементарных… …   Экономический словарь

  • БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (распределение Бернулли) распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0 p 1). Именно, число ? появлений этого события есть… …   Большой Энциклопедический словарь

  • биномиальное распределение — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN binomial distribution …   Справочник технического переводчика

  • биномиальное распределение — (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события… …   Энциклопедический словарь

  • биномиальное распределение — 1.49. биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что при х = 0, 1, 2, ..., n и параметрах n = 1, 2, ... и 0 < p < 1, где Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение Бернулли, распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно ( биномиальный коэффициент; р параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения …   Математическая энциклопедия

  • Биномиальное распределение —         распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых… …   Большая советская энциклопедия

  • БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений нек рого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Биномиальное распределение вероятностей — (binomial distribution) Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход  каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение,  плюс или …   Экономико-математический словарь

  • биномиальное распределение вероятностей — Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или минус, 0 или 1. То есть… …   Справочник технического переводчика

Книги

Другие книги по запросу «Биномиальное распределение» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»