Распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат
Распределение \chi^2. Распределение Пирсона
Плотность вероятности
Chi-square distributionPDF.png
Функция распределения
Chi-square distributionCDF.png
Обозначение \chi^2(k)\, или \chi^2_k\,
Параметры k > 0\, — число степеней свободы
Носитель x \in [0; +\infty)\,
Плотность вероятности \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,
Функция распределения \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,
Математическое ожидание k\,
Медиана примерно k-2/3\,
Мода k-2\, если n\geq 2\,
Дисперсия 2\,k\,
Коэффициент асимметрии \sqrt{8/k}\,
Коэффициент эксцесса 12/k\,
Информационная энтропия \frac{k}{2}\!+\!\ln\left[2\Gamma\left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!\frac{k}{2}\right)\psi\left(\frac{k}{2}\right)

\!\psi(x) = \Gamma'(x) / \Gamma(x).

Производящая функция моментов (1-2\,t)^{-k/2}, если 2\,t<1\,
Характеристическая функция (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,


Распределение \chi^2 (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Содержание

Определение

Пусть z_1, \ldots, z_k — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть:  z_i \sim N(0,1) . Тогда случайная величина

x = z_1^2 + \cdots + z_k^2

имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы, то есть x \sim f_{\chi^2(k)}(x).

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и имеет вид:

f_{\chi^2(k)}(x) \equiv \Gamma\!\left({k \over 2}, {1 \over 2}\right) = \frac{(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma\!\left({k \over 2}\right)}\, x^{{k \over 2} - 1}\, e^{-\frac{x}{2}},

где \Gamma\!\left({k/2}, {1/2}\right) означает Гамма-распределение, а \Gamma\!\left({k/2}\right)Гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

F_{\chi^2(k)}(x) = \frac{\gamma\left({k \over 2}, {x \over 2}\right)}{\Gamma\left({k \over 2}\right)},

где \Gamma и \gamma обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

\!Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(k_1 + k_2).
  • Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если Y \sim \chi^2(k), то
\mathbb{E}[Y] = k,
\!\mathrm{D}[Y] = 2k.
\frac{Y-k}{\sqrt{2k}} \to N(0,1) по распределению при k \to \infty.

Связь с другими распределениями

  • Если X_1 ,\ldots , X_k независимые нормальные случайные величины, то есть: \,X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, k;\; \mu известно, то случайная величина
\,Y = \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2

имеет распределение \chi^2(k).

 \chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(1/2).
  • Если \,Y_1 \sim \chi^2(k_1) и \,Y_2 \sim \chi^2(k_2), то случайная величина
F = \frac{Y_1/k_1}{Y_2 / k_2}

имеет распределение Фишера со степенями свободы \!(k_1,k_2).

Процентили

История

Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном (Pearson) в 1900 году.[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029!

Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.[2]

См. также

Примечания

  1. Karl Pearson. «On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, Series 5 50 (302): 157-175. DOI:10.1080/14786440009463897.
  2. William G. Cochran (1952). «The χ2 Test of Goodness of Fit». Annals Math. Stat. 23 (3): 315-345.
Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Распределение хи-квадрат" в других словарях:

  • Распределение хи квадрат — Плотность вероятности k число степеней свободы Функция распределения k число степеней свободы Параметры …   Википедия

  • распределение «хи-квадрат» — распределение «хи квадрат» — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN chi square distribution …   Справочник технического переводчика

  • распределение хи-квадрат — Распределение вероятностей непрерывной случайной величины с значениями от 0 до , плотность которого задается формулой  , где 0 при параметре =1,2,...; – гамма функция. Примеры. 1) Сумма квадратов  независимых нормированных нормальных случайных… …   Словарь социологической статистики

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХИ-КВАДРАТ (хи2) — Распределение случайной переменной хи2., если случайные выборки размера 1 взяты из нормального распределения со средним (и вариансой q2, то хи2 = (X1 u)2/q2, где X отобранное значение. Если объем выборки увеличивается произвольно до N, то хи2 =… …   Толковый словарь по психологии

  • Распределение Рэлея — Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Фишера — (Распределение Снедекора) Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение Фишера-Снедекора — Распределение Фишера Плотность вероятности Функция распределения Параметры числа с …   Википедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство{W, S, Р}, где W множество элементарных …   Математическая энциклопедия

  • Распределение Эрланга — Гамма распределение Плотность вероятности Функция распределения Параметры …   Википедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ F — Теоретическое вероятностное распределение случайной переменной F. Если случайные выборки размера N отобраны независимо из нормальной популяции, каждая из них генерирует распределение хи квадрат со степенью свободы = N. Отношение двух таких… …   Толковый словарь по психологии

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»