Производящая функция моментов

У этого термина существуют и другие значения, см. Производящая функция.

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение

Пусть есть случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$. Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

$M_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{tX}\right]$.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

$M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, \mathbb{P}^X(dx)$,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть $\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots$, то

$M_X(t) = \sum_{i=1}^{\infty} e^{tx_i}\, p_i$.

Пример. Пусть $X$ имеет распределение Бернулли. Тогда

$M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot p + e^{t \cdot 0} \cdot q = p e^{t} + q$.

Если случайная величина $X$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность $f_X(x)$, то

$M_X(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f_X(x)\, dx$.

Пример. Пусть $X \sim U[0,1]$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$M_X(t) = \int\limits_{0}^{1} e^{tx} \cdot 1\, dx = \left.\frac{e^{tx}}{t}\right\vert_0^1 = \frac{e^{t}-1}{t}$.

Свойства производящих функций моментов

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

• Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть $X,Y$ суть две случайные величины, и $M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t$. Тогда $\mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y$. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
• Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:

$M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}$.

• Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть $X_1,\ldots, X_n$ суть независимые случайные величины. Обозначим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тогда

$M_{S_n}(t) = \prod\limits_{i=1}^n M_{X_i}(t)$.

Вычисление моментов

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \left. \frac{d^n}{dt^n}M_X(t)\right\vert_{t=0}$.

См. также

• Моменты случайной величины
• Характеристическая функция случайной величины