Многомерное нормальное распределение

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения.

Определения

Случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n$ имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Произвольная линейная комбинация компонентов вектора $\sum\limits_{i=1}^n a_i X_i$ имеет нормальное распределение или является константой.
• Существует вектор независимых стандартных нормальных случайных величин $\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots, Z_m)^{\top}$, вещественный вектор $\mathbf{\mu} = (\mu_1,\ldots, \mu_n)^{\top}$ и матрица $\mathbf{A}$ размерности $n \times m$, такие что:

$\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}$.

• Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$, такие что характеристическая функция вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$.

Замечания

• Если рассматривать только распределения с невырожденной ковариационной матрицей, то эквивалентным будет также следующее определение:

Существует вектор $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и неотрицательно определённая симметричная матрица $\mathbf{\Sigma}$ размерности $n \times n$, такие что плотность вероятности вектора $\mathbf{X}$ имеет вид:

$f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} \vert \Sigma \vert^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$,

где $\vert \Sigma\vert$ — определитель матрицы $\Sigma$, а $\Sigma^{-1}$ — матрица обратная к $\Sigma$

• Вектор $\mathbf{\mu}$ является вектором средних значений $\mathbf{X}$, а $\Sigma$ — его ковариационная матрица.
• В случае $n = 1$, многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
• Если случайный вектор $\mathbf{X}$ имеет многомерное нормальное распределение, то пишут $\mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma)$.

Свойства многомерного нормального распределения

• Если вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты $X_i, i=1,\ldots, n,$ имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример [1])!
• Если случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций $\Sigma$ такого вектора диагональна.
• Если $\mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}$ имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты $X_i,\; i = 1 , \ldots, n$ имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.

Контрпример. Пусть $X \sim \mathrm{N}(0,1)$, а $\alpha = \pm 1$ с равными вероятностями. Тогда если $Y = \alpha X \sim \mathrm{N}(0,1)$, то корреляция $X$ и $Y$ равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.

• Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если $\mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma)$, а $\mathbf{A}$ — произвольная матрица размерности $m \times n$, то

$\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu},\mathbf{A}\Sigma \mathbf{A}^{\top}\right)$.

	п·Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma	многомерное нормальное | копула